Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una recta de manera ordenada, la razón de esta a una de las dos rectas comprendidas entre el centro de la curva y la recta trazada ordenadamente o entre esta y la tangente será la misma que la razón compuesta de la de la otra de estas dos rectas a la trazada ordenadamente y la del lado recto de la figura al transverso.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB y centro Z Paso 1, y tracemos una tangente GD a la sección Paso 2, y tracemos GE como ordenada Paso 3.

\(\rm \dfrac{GE}{ZE} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{ED}{EG}\) y \(\rm \dfrac{GE}{ED} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{ZE}{EG}\) Digo que \(\rm \dfrac{GE}{ED} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{ZE}{EG}\) y \(\rm \dfrac{GE}{ZE} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{ED}{EG}\).

Sea H tal que ZE∙ED=EG∙H Paso 4. Se tiene \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{ZE\cdot ED}{EG^2} = \dfrac{EG\cdot H}{EG^2} = \dfrac{H}{EG}\) [Prop. I.37]. Ya que \(\rm \dfrac{H}{ED} = \dfrac{ZE}{EG}\) y \(\rm \dfrac{EG}{ED} = \dfrac{EG}{H}\cdot \dfrac{H}{ED}\), entonces \(\rm \dfrac{EG}{ED} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{EZ}{EG}\).

Q. E. D.

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