Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una recta de manera ordenada, la razón de esta a una de las dos rectas comprendidas entre el centro de la curva y la recta trazada ordenadamente o entre esta y la tangente será la misma que la razón compuesta de la de la otra de estas dos rectas a la trazada ordenadamente y la del lado recto de la figura al transverso.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB y centro Z Paso 1, y tracemos una tangente GD a la sección Paso 2, y tracemos GE como ordenada Paso 3.

${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{E}}{\mathrm{Z}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$ Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{E}}{\mathrm{Z}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$.

Sea H tal que ZE∙ED=EG∙H Paso 4. Se tiene ${\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{E}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{G}\cdot \mathrm{H}}{\mathrm{E}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$ [Prop. I.37]. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{G}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{G}}{\mathrm{H}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{G}}{\mathrm{E}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$.

Q. E. D.

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