Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra al segundo diámetro y desde el punto de contacto se traza hasta este una paralela al otro, la recta separada a partir del centro de la curva, por la paralela limitará, con la separada por la tangente, un área equivalente al cuadrado de la mitad del diámetro secundario, y con la recta situada entre la tangente y la paralela limitará un área cuya razón al cuadrado de la de esta es la misma que la del lado recto al transverso.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AHB Paso 1 y cuyo segundo diámetro es GHD Paso 2, tracemos una tangente ELZ que corta a GD en Z Paso 3, y tracemos una paralela QE a AB Paso 4.

Digo que ZH∙HQ=HG² y \(\rm \dfrac{HQ\cdot QZ}{QE^2} = \dfrac{rectum}{transversum}\).

Tracemos ME como ordenada Paso 5, así \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{HM\cdot ML}{ME^2}\) [Prop. I.37] .

Pero \(\rm \dfrac{GD}{rectum} = \dfrac{BA}{GD}\) [Def. II.3] y así \(\rm \dfrac{BA\cdot GD}{GD\cdot rectum} = \dfrac{BA^2}{GD^2}\) [Euclides:Cor. Prop. VI.19], luego \(\rm \dfrac{BA^2}{GD^2} = \dfrac{transversum}{rectum}\), así \(\rm \dfrac{BA^2}{GD^2} = \dfrac{4HA^2}{4HG^2}=\dfrac{HA^2}{HG^2}=\dfrac{transversum}{rectum}\), de donde \(\rm \dfrac{HA^2}{HG^2} = \dfrac{HM\cdot ML}{ME^2}\).

Pero \(\rm \dfrac{HM\cdot ML}{ME^2} = \dfrac{HM}{ME}\cdot\dfrac{ML}{ME}\), de donde \(\rm \dfrac{HA^2}{HG^2} = \dfrac{HM}{ME}\cdot\dfrac{ML}{ME}\). Ya que ME = HQ y \(\rm \dfrac{ML}{ME} = \dfrac{HL}{ZH}\), entonces \(\rm \dfrac{HG^2}{HA^2} = \dfrac{HQ}{HM}\cdot\dfrac{ZH}{HL} = \dfrac{HQ\cdot ZH}{HM\cdot HL}\), de donde \(\rm \dfrac{HM\cdot HL}{HA^2} = \dfrac{HQ\cdot ZH}{HG^2}\). Como HM∙HL=AG² [Prop. I.37], así ZH∙HQ=GH².

Ahora, ya que \(\rm \dfrac{EM^2}{HM\cdot ML} = \dfrac{rectum}{transversum}\) [Prop. I.37], \(\rm \dfrac{EM^2}{HM\cdot ML} = \dfrac{EM}{HM}\cdot\dfrac{EM}{ML}\), EM = QH, HM = QE y \(\rm \dfrac{EM}{ML} = \dfrac{ZH}{HL} = \dfrac{ZQ}{QE}\), entonces \(\rm \dfrac{EM^2}{HM\cdot ML} = \dfrac{QH}{QE}\cdot \dfrac{ZQ}{QE} = \dfrac{QH\cdot ZQ}{QE^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{rectum}{transversum} = \dfrac{ZQ\cdot QH}{QE^2}\).

Q. E. D.

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Es claro que la recta EZ será tangente a la curva cuando ZH∙HQ=HC² o cuando \(\rm \dfrac{ZQ\cdot QH}{QE^2} = \dfrac{rectum}{transversum} \), como se demostraría recíprocamente.