Proposición 41

Si en una hipérbola, una elipse o una circunferencia se traza a un diámetro una recta de una manera ordenada, se construyen con ella y con la recta que pasa por el centro figuras paralelográmicas equiángulas y si la razón del lado trazado al otro lado de la figura se compone de la de la recta que pasa por el centro del otro lado de su figura y la del lado recto de la figura de la sección a su lado transverso, la figura construida sobre la recta comprendida entre el centro y la recta trazada ordenadamente es semejante a la construida sobre la recta que pasa por el centro, y excede en la hipérbola a la construida sobre la recta trazada ordenadamente en la construida sobre la recta que pasa por el centro, mientras que en la elipse y en la circunferencia dicha figura, aumentada en la construida sobre la recta trazada ordenadamente, equivale a la construida sobre la recta que pasa por el centro.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB y centro E , y tracemos una ordenada GD , y sobre las rectas EA y GD construyamos paralelogramos AEZM y DGHL equiangulares de manera que $\frac{G D}{G H} = \frac{A E}{E Z} \cdot \frac{r e c t u m}{t r a n s c e r s u m}$ .

Digo que, el paralelogramo DENK sobre ED semejante a AEZM verifica, en el caso de la hipérbola, ▱DENK=▱AEZM+▱DGHL, y en el caso de la elipse y la circunferencia, ▱DENK=▱AEZM -▱DGHL .

En efecto, sea GQ una recta tal que $\frac{D G}{G Q} = \frac{r e c t u m}{t r a n s v e r s u m}$ . Entonces, ya que $\frac{r e c t u m}{t r a n s v e r s u m} = \frac{D G}{G Q} = \frac{D G^{2}}{D G \cdot G Q}$ , , y $\frac{D G^{2}}{B D \cdot D A} = \frac{r e c t u m}{t r a n v e r s u m}$ [Prop. I.21], entonces BD∙DA=DG∙GQ.

Ya que $\frac{D G}{G H} = \frac{A E}{E Z} \cdot \frac{r e c t u m}{t r a n s v e r s u m}$ , y ya que $\frac{D G}{G H} = \frac{D G}{G Q} \cdot \frac{G Q}{G H}$ , entonces $\frac{A E}{E Z} \cdot \frac{D G}{G Q} = \frac{D G}{G Q} \cdot \frac{G Q}{G H}$ , por tanto $\frac{A E}{E Z} = \frac{G Q}{G H}$ .

Pero $\frac{G Q}{G H} = \frac{G Q \cdot G D}{G H \cdot G D}$ y $\frac{A E}{E Z} = \frac{A E^{2}}{A E \cdot E Z}$ , así $\frac{A E^{2}}{A E \cdot E Z} = \frac{G Q \cdot G D}{G H \cdot G D}$ .

Y como QG∙GD=BD∙DA, así $\frac{A E^{2}}{A E \cdot E Z} = \frac{B D \cdot D A}{G H \cdot G D}$ , alternativamente $\frac{G H \cdot G D}{A E \cdot E Z} = \frac{B D \cdot D A}{A E^{2}}$ .

Por otra parte $\frac{▱ D G H L}{▱ A E Z M} = \frac{H G}{A E} \cdot \frac{G D}{E Z} = \frac{H G \cdot G D}{A E \cdot E Z}$ [Euclides:Prop. VI.23], y así $\frac{▱ D G H L}{▱ A E Z M} = \frac{B D \cdot D A}{E A^{2}}$ .

Además en el caso de la hipérbola, $\frac{▱ A E Z M + ▱ D G H L}{▱ A E Z M} = \frac{B D \cdot D A + A E^{2}}{E A^{2}}$ y ya que $B D \cdot D A + A E^{2} = (D E + A E) (D E - A E) + A E^{2} = D E^{2}$ [Euclides:Prop. II.6], se tiene que $\frac{▱ A E Z M + ▱ D G H L}{▱ A E Z M} = \frac{D E^{2}}{E A^{2}}$ . Y como $\frac{▱ D E N K}{▱ A E Z M} = \frac{D E^{2}}{E A^{2}}$ [Euclides:Gor. Prop. VI.29], resulta $\frac{▱ A E Z M + ▱ D G H L}{▱ A E Z M} = \frac{▱ D E N K}{▱ A E Z M}$ . Así ▱DENK=▱AEZM+▱DGHL.

En el caso de la elipse y de la circunferencia, $\frac{A E^{2}}{▱ A E Z M} = \frac{B D \cdot D A}{▱ D G H L}$ , de donde $\frac{A E^{2}}{▱ A E Z M} = \frac{A E^{2} - B D \cdot D A}{▱ A E Z M - ▱ D G H L}$ [Euclides:Prop. V.19].

Y $A E^{2} - B D \cdot D A = A E^{2} - (A E + D E) (A E - D E) = D E^{2}$ [Euclides:Prop. II.5], así $\frac{A E^{2}}{▱ A E Z M} = \frac{D E^{2}}{▱ A E Z M - ▱ D G H L}$ . Pero $\frac{A E^{2}}{▱ A E Z M} = \frac{D E^{2}}{▱ D E N K}$ . Así $\frac{D E^{2}}{▱ A E Z M - ▱ D G H L} = \frac{D E^{2}}{▱ D E N K}$ [Euclides:Cor. Prop. VI.20] . Así ▱DENK=▱AEZM-▱DGHL.

Q. E. D.

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