Si en una hipérbola, una elipse o una circunferencia se traza a un diámetro una recta de una manera ordenada, se construyen con ella y con la recta que pasa por el centro figuras paralelográmicas equiángulas y si la razón del lado trazado al otro lado de la figura se compone de la de la recta que pasa por el centro del otro lado de su figura y la del lado recto de la figura de la sección a su lado transverso, la figura construida sobre la recta comprendida entre el centro y la recta trazada ordenadamente es semejante a la construida sobre la recta que pasa por el centro, y excede en la hipérbola a la construida sobre la recta trazada ordenadamente en la construida sobre la recta que pasa por el centro, mientras que en la elipse y en la circunferencia dicha figura, aumentada en la construida sobre la recta trazada ordenadamente, equivale a la construida sobre la recta que pasa por el centro.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB y centro E Paso 1, y tracemos una ordenada GD Paso 2, y sobre las rectas EA y GD construyamos paralelogramos AEZM y DGHL equiangulares de manera que \(\rm\dfrac{GD}{GH} = \dfrac{AE}{EZ}\cdot \dfrac{rectum}{transcersum}\) Paso 3.

Digo que, el paralelogramo DENK sobre ED semejante a AEZM verifica, en el caso de la hipérbola, ▱DENK=▱AEZM+▱DGHL, y en el caso de la elipse y la circunferencia, ▱DENK=▱AEZM -▱DGHL Paso 4.

En efecto, sea GQ una recta tal que \(\rm\dfrac{DG}{GQ} = \dfrac{rectum}{transversum}\). Entonces, ya que \(\rm\dfrac{rectum}{transversum} = \dfrac{DG}{GQ} = \dfrac{DG^2}{DG\cdot GQ}\), Paso 5, y \(\rm\dfrac{DG^2}{BD\cdot DA} = \dfrac{rectum}{tranversum}\) [Prop. I.21], entonces BD∙DA=DG∙GQ.

Ya que \(\rm\dfrac{DG}{GH} = \dfrac{AE}{EZ} \cdot \dfrac{rectum}{transversum}\), y ya que \(\rm\dfrac{DG}{GH} = \dfrac{DG}{GQ}\cdot\dfrac{GQ}{GH}\), entonces \(\rm\dfrac{AE}{EZ}\cdot\dfrac{DG}{GQ} = \dfrac{DG}{GQ}\cdot\dfrac{GQ}{GH}\), por tanto \(\rm\dfrac{AE}{EZ} = \dfrac{GQ}{GH}\).

Pero \(\rm\dfrac{GQ}{GH} = \dfrac{GQ\cdot GD}{GH\cdot GD}\) y \(\rm\dfrac{AE}{EZ} = \dfrac{AE^2}{AE\cdot EZ}\), así \(\rm\dfrac{AE^2}{AE\cdot EZ} = \dfrac{GQ\cdot GD}{GH\cdot GD}\).

Y como QG∙GD=BD∙DA, así \(\rm\dfrac{AE^2}{AE\cdot EZ} = \dfrac{BD\cdot DA}{GH\cdot GD}\), alternativamente \(\rm\dfrac{GH\cdot GD}{AE\cdot EZ} = \dfrac{BD\cdot DA}{AE^2}\).

Por otra parte \(\rm\dfrac{▱DGHL}{▱AEZM} = \dfrac{HG}{AE}\cdot\dfrac{GD}{EZ}=\dfrac{HG\cdot GD}{AE\cdot EZ}\) [Euclides:Prop. VI.23], y así \(\rm\dfrac{▱DGHL}{▱AEZM} = \dfrac{BD\cdot DA}{EA^2}\).

Además en el caso de la hipérbola, \(\rm\dfrac{▱AEZM+▱DGHL}{▱AEZM} = \dfrac{BD\cdot DA + AE^2}{EA^2}\) y ya que \(\rm BD\cdot DA+AE^2=(DE+AE)(DE-AE)+AE^2=DE^2\) [Euclides:Prop. II.6], se tiene que \(\rm\dfrac{▱AEZM+▱DGHL}{▱AEZM} = \dfrac{DE^2}{EA^2}\). Y como \(\rm\dfrac{▱DENK}{▱AEZM} = \dfrac{DE^2}{EA^2}\) [Euclides:Gor. Prop. VI.29], resulta \(\rm \dfrac{▱AEZM+▱DGHL}{▱AEZM} = \dfrac{▱DENK}{▱AEZM}\). Así ▱DENK=▱AEZM+▱DGHL.

En el caso de la elipse y de la circunferencia, \(\rm\dfrac{AE^2}{▱AEZM} = \dfrac{BD\cdot DA}{▱DGHL}\), de donde \(\rm\dfrac{AE^2}{▱AEZM} = \dfrac{AE^2-BD\cdot DA}{▱AEZM-▱DGHL}\) [Euclides:Prop. V.19].

Y \(\rm AE^2-BD\cdot DA = AE^2-(AE+DE)(AE-DE)=DE^2\) [Euclides:Prop. II.5], así \(\rm\dfrac{AE^2}{▱AEZM} = \dfrac{DE^2}{▱AEZM-▱DGHL}\). Pero \(\rm\dfrac{AE^2}{▱AEZM} = \dfrac{DE^2}{▱DENK} \). Así \(\rm\dfrac{DE^2}{▱AEZM-▱DGHL} = \dfrac{DE^2}{▱DENK}\) [Euclides:Cor. Prop. VI.20] . Así ▱DENK=▱AEZM-▱DGHL.

Q. E. D.

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