Proposición 50

Si una tangente a una hipérbola, una elipse o una circunferencia encuentra a un diámetro, se prolonga la recta de unión del punto de contacto y el centro; se eleva por el vértice una paralela a una recta trazada ordenadamente, que corta a la anterior, y se hace de modo que una recta sea el doble de la tangente como el segmento de esta entre el punto de contacto y la recta elevada es al segmento de la recta que une el punto de contacto y el centro, comprendido entre este y la recta elevada, el cuadrado de toda recta trazada en la curva a la que pasa por el punto de contacto y el centro paralelamente a la tangente, será equivalente a un área rectangular aplicada a la recta tomada que tenga de ancho la recta separada, a partir del punto de contacto, por la trazada en la curva, área aumentada en la hipérbola y disminuida en la elipse y en la circunferencia en una figura semejante al rectángulo limitado por el doble de la recta situada entre el centro y el punto de contacto y por la recta tomada.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB y centro G . Tracemos una tangente DE, la recta de unión GE y prolonguémosla, y sea GK=EG ; desde B tracemos una ordenada BZH , desde E tracemos la perpendicular EQ a EG , de manera que $\frac{E Q}{2 E D} = \frac{Z E}{E H}$ ; tracemos la recta de unión QK y prolonguémosla , tomemos un punto cualquiera L de la sección, y desde él tracemos una paralela LMC a la recta ED y una paralela LRN a la recta BH, y tracemos una paralela MP a a la recta EQ .

Digo que LM²=EM∙MP.

Tracemos desde el punto G una paralela GSO a la recta KP . Ya que EG=GK, y, por semejanza de triángulos, $\frac{E S}{S Q} = \frac{E G}{G K}$ , así ES=SQ.

Ya que $\frac{Q E}{2 E D} = \frac{Z E}{E H}$ y 2ES = SQ+ES = EQ, así $\frac{E S}{E D} = \frac{Z E}{E H}$ . Como, los triángulos LMR y HEZ son equiángulos, entonces $\frac{L M}{M R} = \frac{Z E}{E H}$ , de donde $\frac{E S}{E D} = \frac{L M}{M R}$ [Euclides:Prop. VI.4 ].

Ya que, ha sido demostrado [Prop. I.43], en el caso de la hipérbola, △ LNC=△ RNG-△ HBG=△ RNG-△ GDE, y en el caso de la elipse y la circunferencia, △ LNC=△ GDE-△ RNG=△ HBG-△ RNG. Así, en el caso de la hipérbola, △ LNC=⏢ EDNR, de donde △ LMR=△ LNC-⏢ NRMC=⏢ EDNR-⏢ NRMC=⏢ MEDC, y en el caso de la elipse y de la circunferencia, △ GDE=⏢ LCGR, de donde △ LMR=△ GDE-△ MCG=△ GDE-⏢ LCGR=⏢ MEDC.

Por otra parte, MC es paralela a DE y $\hat{L M R} = \hat{E M C}$ . Por tanto LM∙MR=EM∙(ED+MC) [Prop. I.49]. Ya que, por semejanza de triángulos, $\frac{M C}{E D} = \frac{M G}{G E} = \frac{M O}{E S}$ , entonces $\frac{M C + E D}{E D} = \frac{M O + E S}{E S}$ , de donde $\frac{E S}{E D} = \frac{M O + E S}{M C + E D} = \frac{(M O + E S) E M}{(M C + E D) E M}$ .

Pero $\frac{S E}{E D} = \frac{L M}{M R}$ , de donde $\frac{S E}{E D} = \frac{L M^{2}}{L M \cdot M R}$ . Por tanto $\frac{L M^{2}}{L M \cdot M R} = \frac{(M O + E S) E M}{(M C + E D) E M}$ , y como $\frac{L M^{2}}{(M C + E D) E M} = \frac{(M O + E S) E M}{(M C + E D) E M}$ , entonces $L M^{2} = (M O + E S) E M$ . Pero $E S = S Q = O P$ , luego $L M^{2} = (M O + O P) E M = M P \cdot E M$ .

Q. E. D.

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