Si
una tangente a una hipérbola, una elipse o una circunferencia encuentra a un diámetro, se prolonga la recta de unión del punto de contacto y el centro; se eleva por el vértice una paralela a una recta trazada ordenadamente, que corta a la anterior, y se hace de modo que una recta sea el doble de la tangente como el segmento de esta entre el punto de contacto y la recta elevada es al segmento de la recta que une el punto de contacto y el centro, comprendido entre este y la recta elevada, el cuadrado de toda recta trazada en la curva a la que pasa por el punto de contacto y el centro paralelamente a la tangente, será equivalente a un área rectangular aplicada a la recta tomada que tenga de ancho la recta separada, a partir del punto de contacto, por la trazada en la curva, área aumentada en la hipérbola y disminuida en la elipse y en la circunferencia en una figura semejante al rectángulo limitado por el doble de la recta situada entre el centro y el punto de contacto y por la recta tomada.
Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB y centro G
.
Tracemos una tangente DE, la recta de unión GE y prolonguémosla, y sea GK=EG ;
desde B tracemos una ordenada BZH ,
desde E tracemos la perpendicular EQ a EG ,
de manera que \(\rm \dfrac{EQ}{2ED} =\dfrac{ZE}{EH}\);
tracemos la recta de unión QK y prolonguémosla ,
tomemos un punto cualquiera L de la sección, y desde él tracemos una paralela LMC a la recta ED y una paralela LRN a la recta BH, y tracemos una paralela MP a a la recta EQ
.
Digo que LM2=EM∙MP.
Tracemos desde el punto G una paralela GSO a la recta KP .
Ya que EG=GK, y, por semejanza de triángulos,\(\rm \dfrac{ES}{SQ} = \dfrac{EG}{GK}\), así ES=SQ.
Ya que \(\rm \dfrac{QE}{2ED} = \dfrac{ZE}{EH}\) y 2ES = SQ+ES = EQ, así \(\rm \dfrac{ES}{ED} = \dfrac{ZE}{EH}\).
Como, los triángulos LMR y HEZ son equiángulos, entonces \(\rm \dfrac{LM}{MR} = \dfrac{ZE}{EH}\), de donde
\(\rm \dfrac{ES}{ED} = \dfrac{LM}{MR}\) [Euclides:Prop. VI.4 ].
Ya que, ha sido demostrado [Prop. I.43], en el caso de la hipérbola, △ LNC=△ RNG-△ HBG=△ RNG-△ GDE,
y en el caso de la elipse y la circunferencia, △ LNC=△ GDE-△ RNG=△ HBG-△ RNG.
Así, en el caso de la hipérbola, △ LNC=⏢ EDNR, de donde △ LMR=△ LNC-⏢ NRMC=⏢ EDNR-⏢ NRMC=⏢ MEDC,
y en el caso de la elipse y de la circunferencia, △ GDE=⏢ LCGR, de donde △ LMR=△ GDE-△ MCG=△ GDE-⏢ LCGR=⏢ MEDC.
Por otra parte, MC es paralela a DE y \(\widehat{\rm LMR}=\widehat{ \rm EMC}\). Por tanto LM∙MR=EM∙(ED+MC) [Prop. I.49]. Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{MC}{ED} = \dfrac{MG}{GE} =\dfrac{MO}{ES}\), entonces
\(\rm \dfrac{MC+ED}{ED} = \dfrac{MO+ES}{ES}\), de donde \(\rm \dfrac{ES}{ED} = \dfrac{MO+ES}{MC+ED} = \dfrac{(MO+ES)EM}{(MC+ED)EM}\).
Pero \(\rm \dfrac{SE}{ED} = \dfrac{LM}{MR}\), de donde \(\rm \dfrac{SE}{ED} = \dfrac{LM^2}{LM\cdot MR}\). Por tanto
\(\rm \dfrac{LM^2}{LM\cdot MR} = \dfrac{(MO+ES)EM}{(MC+ED)EM}\), y como \(\rm \dfrac{LM^2}{(MC+ED)EM} = \dfrac{(MO+ES)EM}{(MC+ED)EM}\), entonces \(\rm LM^2=(MO+ES)EM\). Pero \(\rm ES = SQ = OP\), luego \(\rm LM^2 = (MO+OP)EM=MP\cdot EM\).
Q. E. D.
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