Cuando en una elipse una recta trazada de modo ordenado desde el punto que divide a un diámetro en dos partes iguales se prolonga a uno y otro lado hasta la sección y se hace de manera que el diámetro sea a una cierta recta como la recta prolongada al diámetro, el cuadrado de toda recta trazada en la sección, paralelamente al diámetro, sobre la recta prolongada, será equivalente al área que, aplicada a la recta que es una tercera proporcional tenga de ancho la recta separada, del lado de la sección, en la recta prolongada disminuida en una figura semejante al rectángulo formado por la recta sobre la cual se han trazado las rectas y el parámetro, y si se prolonga esta recta hasta la otra parte de la sección quedará dividida en dos partes iguales por la recta sobre la cual se ha trazado.
Sea una elipse, donde un diámetro es la recta AB .
Dividamos la recta AB en dos partes iguales por el punto H , y, por este punto G tracemos, una ordenada DGE, y prolonguémosla,
por ambos lados,
hasta la sección .
Además, tracemos, por el punto D, la recta DZ perpendicular a la recta DE, y hagámoslo de manera que
Tomemos un punto H sobre la sección , y tracemos
por este punto H, la recta HQ paralela a la recta AB .
Finalmente, tracemos la recta EZ que une los puntos E y Z ;
tracemos por el punto Q la recta QL paralela a la recta DZ , y tracemos,
por los puntos Z, L las rectas ZK, LM paralelas a la recta QD . Digo que
En efecto, sea AN el lado recto para las ordenadas sobre la recta AB . Tracemos la recta BN que une los puntos B,N ; tracemos, por el punto H, la recta HC paralela a la recta DE ; tracemos, por los puntos C, G, las rectas CO, GP paralelas a la recta AN , finalmente, tracemos, por los puntos N,O,P, las rectas NY, OR, TP paralelas a la recta AB . Se tiene DG2=▭ANSG-▭TNSP=▭AP [Prop. I.13]. Igualmente, se tiene HC2=▭ANYC-▭NO=▭AO.
Ya que G es el punto medio de BA, se tiene: BG = GA = PT. Como, por semejanza de triángulos;
Y ya que ▭OT = ▭OS, se tiene ▭OT + ▭NO = ▭OS + ▭NO [Euclides:Prop. I.43], o ▭TY = ▭NR.
Como ▭TY = ▭TC, entonces ▭TY + ▭TR = ▭TC + ▭TR. Como ▭TY = ▭NR, entonces ▭NR + ▭TR = ▭TC + ▭TR = ▭TC + ▭TO + ▭PO, o ▭NP = ▭AO + ▭PO.
Como ▭PA = ▭NP, entonces ▭PA = ▭AO + ▭PO, de donde ▭PA - ▭AO = ▭PO. Ya que AG2= ▭PA, y PC2= ▭AO, de donde GD2-HC2=▭PO=OR∙RP.
Se tiene EQ∙QD + GQ2 = GD2 [Euclides:Prop. II.5], de donde, ya que GQ=CH, tenemos que GD2-CH2=EQ∙QD, luego EQ∙QD = OR∙RP.
Se tiene,
Digo ahora que la recta QH prolongada hacia la otra parte de la sección, queda dividida en dos partes iguales por DE.
Ya que HC=FX, entonces HC2=FX2. Como HC2=AC∙CO, y FX2= AX∙XV [Prop. I.13], entonces