Si
una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra al segundo diámetro y desde el punto de contacto se traza una paralela al otro diámetro, y por el punto de contacto y por el centro
se traza una recta y desde un punto cualquiera de la curva, se trazan hasta el segundo diámetro dos paralelas, una a la tangente y otra a la
recta trazada, el triángulo formado por estas rectas será, en el caso de la hipérbola, más grande que el triángulo construido del lado del centro por la paralela a la recta trazada, del triángulo cuya base es la tangente y cuyo vértice es el centro de la sección; en el caso de la elipse y de la circunferencia, la suma del primer triángulo y del triángulo separado será igual al triángulo donde la tangente es la base y donde el centro de la sección es el vértice.
Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia ABG, de diámetro AQ, de segundo diámetro QD y de centro Q ,
y tracemos desde G una tangente GML ,
y tracemos una paralela GD a AQ
y tracemos la recta de unión QG y prolonguémosla ,
y tomemos un punto cualquiera B de la sección y desde B tracemos paralelas BE y BZ a LG y GD .
Digo que, en el caso de la hipérbola, △BEZ=△HQZ+△LGQ, y en el caso de la elipse y de la circunferencia, △BEZ+△ZHQ=△GLQ
.
Tracemos paralelas GK y BN a DQ . Ya que GM es tangente, y GK una ordenada, entonces
\(\rm \dfrac{GK}{KQ} = \dfrac{MK}{KG}\cdot \dfrac{rectum}{transversum}\) [Prop. I.39], y, por semejanza de triángulos,
\(\rm \dfrac{MK}{KG} = \dfrac{GD}{DL}\) [Euclides:Prop. VI.4], así \(\rm \dfrac{GK}{KQ} = \dfrac{GD}{DL}\cdot \dfrac{rectum}{transversum}\).
Tracemos una paralela AO a GL que corta al segundo diámetro en O , luego el triángulo AQO es semejante al triángulo GDL.
Así, en el caso de la hipérbola, △ GDL=△ GKQ+△ AQG y en el caso de la elipse y de la circunferencia, △ GDQ+△ GDL=△ AQG, pues esto ha sido demostrado en [Prop. I.41] para sus dobles.
Ya que △ GDL=△ GKQ+△ AQG=△ GDQ+△ AQG y también △ DGL=△ GKQ+△ GQL, así △ AQG=△ GQL.
Ya que el triángulo BZE es semejante al triángulo GDL y el triángulo HZQ es semejante al triángulo GDQ, así △ BZE=△ HQZ+△ AQG=△ HQZ+△ GQL.
Q. E. D.
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