Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro que corte al de la base según una recta perpendicular a la base del triángulo según el eje, el diámetro de la sección producida en la superficie cónica es paralelo a uno de los lados del triángulo o encuentra al cono más allá del vértice; y si se prolongan indefinidamente la superficie cónica y el plano secante, la sección crecerá indefinidamente y toda paralela trazada desde la sección a la recta situada en la base del cono determinará en el diámetro de la sección, a partir del vértice, una recta igual a toda recta dada.

Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG Paso 1 y cortémosle por un plano que pasa por el eje y este plano determina una sección que es el triángulo ABG Paso 2. Cortémosle también por otro plano que corta al plano que contiene al triángulo ABG en un recta DE perpendicular a BG y que determina como sección sobre la superficie cónica la línea DZE Paso 3. Y el diámetro ZH de la sección DZE [Prop. I.7 y su corolario] o es paralelo a AG o su prolongación corta a AG en el punto A Paso 4.

Digo que si la superficie del cono y el plano de corte son prolongados indefinidamente, la sección DZE crece también indefinidamente.

Supongamos que la superficie del cono y el plano de corte son prolongados. Entonces es evidente que también las rectas AB, AG y ZH se prolongarán indefinidamente. Ya que ZH o es paralela a AG o su prolongación corta a AG en A, así las prolongaciones de ZH y AG en la dirección de G y de H nunca se cortarán. Entonces prolonguémoslas y tomemos un punto cualquiera Q en ZH y desde Q tracemos paralelas KQL a BG y MQN a DE Paso 5. Así el plano determinado por las rectas KL y MN es paralelo al plano determinado por las rectas BG y DE [Euclides:Prop. XI.15]. Así el plano KLMN es el plano de un círculo [Prop. I.4].

Y ya que los puntos D, E, M y N están en el plano de corte y también en la superficie del cono, estarán en su intersección. Así la sección DZE se ha incrementado en los puntos M y N. Así la superficie del cono y el plano de corte incrementados en el círculo KLMN, la sección DZE se ha incrementado en los puntos M y N. Entonces de manera análoga se demostraría que si la superficie del cono y el plano de corte se prolongan indefinidamente, la sección MDZEN también crecerá indefinidamente.

Es evidente que una cierta recta cortará a la recta ZQ sobre el lado del punto Z una recta igual a cualquier recta dada. Tomemos una recta ZC igual a una recta dada, y tracemos desde C una paralela a DE, esta paralela cortará a la sección, tal como se ha demostrado que la recta que pasa por Q corta a la sección en los puntos M y N Paso 6. Y por tanto se ha trazado alguna recta que corta a la sección, paralela a DE, cortando sobre ZH, del lado de Z, una recta igual a una recta dada.

Q. E. D.