Si una recta toca a una de las secciones opuestas y desde un punto interior a la otra se traza una paralela a la tangente, la recta, prolongada, encontrará a la sección.

Sea una hipérbola de doble rama de diámetro AB Paso 1, y tracemos una tangente GD a la rama A Paso 2, y tomemos un punto E en la otra rama, y tracemos desde E una paralela EZ a GD Paso 3.

Digo que prolongada EZ en ambos sentidos cortará a la sección.

Ya que ha sido probado que la prolongación GD corta al diámetro AB [Prop. I.24], y EZ es paralela a ella, así la prolongación de EZ cortará al diámetro. Sea H el punto de corte Paso 4, y hagamos AQ=HB y desde Q tracemos una paralela QK a EZ Paso 5, y tracemos KL como ordenada Paso 6, y hagamos HM=LQ, y tracemos una paralela MN a una ordenada Paso 7, y prolonguemos HN. Ya que KL es paralela a MN, y KQ a HN, y LM es una línea recta, el triángulo KQL es semejante al triángulo HMN. Y LQ=HM, así MN=KL, y por tanto $\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2=\mathrm{K}{\mathrm{L}}^2$.

Por otra parte, HB=AQ, de donde MB=HM+HB=LQ+AQ=LA y AM=MB+AB=LA+AB=BL, y así AM∙MB=BL∙LA, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{B}}{\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{L}\cdot \mathrm{L}\mathrm{A}}{\mathrm{K}{\mathrm{L}}^2}}$.

Como ${\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{L}\cdot \mathrm{L}\mathrm{A}}{\mathrm{L}{\mathrm{K}}^2}}$ [Prop. I.21], entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{B}}{\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2}}$.

Así N está en la sección. Así la prolongación de EZ corta a la sección en N.

Análogamente puede demostrarse que la prolongación en la otra dirección cortará a la sección.

Q. E. D.