Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza ordenadamente a este una recta y por el vértice una paralela a esta que corta a la que pasa por el punto de contacto y por el centro y desde un punto cualquiera de la curva una paralela a la tangente y otra a la recta trazada por el punto de contacto, el triángulo formado por estas paralelas y el diámetro será en la hipérbola inferior al separado por la recta que pasa por el centro, y por el punto de contacto en un triángulo que, construido sobre la recta que pasa por el centro, es semejante al triángulo separado, mientras que en la elipse y en la circunferencia ese triángulo aumentado en el separado a partir del centro, será equivalente al que, construido sobre la recta que pasa por el centro, es semejante a este último triángulo separado.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB y centro G Paso 1, y tracemos una tangente DE a la sección Paso 2, y tracemos la recta de unión GE Paso 3, y tracemos una ordenada EZ Paso 4, y tomemos un punto H en la sección, y tracemos una paralela HQ a la tangente Paso 5, y desde B tracemos la ordenada BL Paso 6.

Digo que △KMG=△GLB+△HKQ Paso 7.

Ya que ED es tangente y EZ es una ordenada, por tanto \(\rm \dfrac{EZ}{ZD} = \dfrac{GZ}{ZE}\cdot\dfrac{rectum}{transversum}\)[Prop. I.39].

Pero, por semejanza de triangulos, \(\rm\dfrac{HK}{KQ} = \dfrac{EZ}{ZD}\), y \(\rm\dfrac{GB}{BL} = \dfrac{GZ}{ZE}\)[Euclides:Prop. VI.4], así \(\rm\dfrac{HK}{KQ} = \dfrac{GB}{BL}\cdot\dfrac{rectum}{transversum}\) .

En virtud de lo que se ha demostrado en [Prop. I.41], △ GKM=△ BGL+△ HQK, donde se ha demostrado lo mismo para los paralelogramos que son el doble de los triángulos.

Q. E. D.

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