Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza ordenadamente a este una recta y por el vértice una paralela a esta que corta a la que pasa por el punto de contacto y por el centro y desde un punto cualquiera de la curva una paralela a la tangente y otra a la recta trazada por el punto de contacto, el triángulo formado por estas paralelas y el diámetro será en la hipérbola inferior al separado por la recta que pasa por el centro, y por el punto de contacto en un triángulo que, construido sobre la recta que pasa por el centro, es semejante al triángulo separado, mientras que en la elipse y en la circunferencia ese triángulo aumentado en el separado a partir del centro, será equivalente al que, construido sobre la recta que pasa por el centro, es semejante a este último triángulo separado.
Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB y centro G , y tracemos una tangente DE a la sección , y tracemos la recta de unión GE , y tracemos una ordenada EZ , y tomemos un punto H en la sección, y tracemos una paralela HQ a la tangente , y desde B tracemos la ordenada BL .
Digo que △KMG=△GLB+△HKQ .
Ya que ED es tangente y EZ es una ordenada, por tanto
Pero, por semejanza de triangulos,
En virtud de lo que se ha demostrado en [Prop. I.41], △ GKM=△ BGL+△ HQK, donde se ha demostrado lo mismo para los paralelogramos que son el doble de los triángulos.
Q. E. D.