Algunos manuscritos presentan la siguiente demostración de esta proposición.

Como \(\mathrm{ZG\cdot GD=GB^2}\), entonces, según [Euclides:Prop. VI.17] \[\mathrm{\frac{GB}{GD}=\frac{ZG}{GB}};\] así que, según [Euclides:Cor. Prop. VI.19], \[\mathrm{\frac{ZG}{GD}=\frac{▱ GZ}{▱ GB}};\] o, según [Euclides:Prop. VI.19], \[\mathrm{\frac{\triangle EZG}{\triangle LGB}=\frac{ZG^2}{GB^2}},\] y , según [Euclides:Prop. VI.1], \[\mathrm{\frac{\triangle EZG}{\triangle EGD}=\frac{ZG}{GD}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{\triangle EGZ}{\triangle EGD}=\frac{\triangle EGZ}{\triangle BLG}}.\] Por tanto \(\mathrm{\triangle EGD=\triangle BGL}\) [Euclides:Prop. V.9].

En el caso de la hipérbola, por conversión, y en el caso de la elipse, por inversión y división, \[\mathrm{\frac{\triangle EGZ}{\triangle EDZ}=\frac{\triangle EZG}{⏢ ELBZ}};\] por tanto \(\mathrm{\triangle EDZ=⏢ ELBZ}\). Dado que \[\mathrm{\frac{\triangle EGZ}{\triangle LGB}=\frac{GZ^2}{GB^2}},\] en el caso de la hipérbola, por división, y en el de la elipse, por inversión, por conversión y por inversión, \[\mathrm{\frac{⏢ ELBZ}{\triangle BLG}=\frac{AZ\cdot ZB}{BG^2}};\] del mismo modo, \[\mathrm{\frac{\triangle LBG}{⏢ MLBK}=\frac{GB^2}{AK\cdot KB}};\] a intervalos iguales, \[\mathrm{\frac{⏢ ELBZ}{⏢ LBKM}=\frac{AZ\cdot ZB}{AK\cdot KB}}.\] Ahora \[\mathrm{\frac{EZ^2}{HK^2}=\frac{AZ\cdot ZB}{AK\cdot KB}},\] y \[\mathrm{\frac{\triangle EDZ}{\triangle HCK}=\frac{EZ^2}{HK^2}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{⏢ ELBZ}{⏢ MLBK}=\frac{\triangle EDZ}{\triangle HCK}}.\] Por permutación, \[\mathrm{\frac{\triangle HCK}{⏢ MLBK}=\frac{\triangle EDZ}{⏢ ELBZ}};\] sin embargo, se ha demostrado que \(\mathrm{\triangle EDZ=⏢ ELBZ}\); por tanto \(\mathrm{\triangle HCK=⏢ MLBK}\). Por tanto, \(\mathrm{\triangle MGK=\triangle LBG\pm \triangle HQK}\).

Hay que mirar con atención esta demostración, que no es muy clara en el pasaje que se refiere a las proporciones de la elipse, para detallar lo que la brevedad del texto presenta de forma concisa. Así (pues dice esto: "ya que \[\mathrm{\frac{\triangle EGZ}{\triangle LBG}=\frac{ZG^2}{GB^2}},\] por inversión, por conversión y por inversión"): - por inversión, \[\mathrm{\frac{\triangle LBG}{\triangle EZG}=\frac{BG^2}{GZ^2}};\] - por conversión, \[\mathrm{\frac{\triangle LBG}{⏢ LBZE}=\frac{BG^2}{AZ\cdot ZB}}\] es decir, \(\mathrm{GB^2-GZ^2}\) [Euclides:Prop. II.5], en virtud de que el punto G es el medio de la línea ΑΒ ; - por inversión, \[\mathrm{\frac{⏢ ELBZ}{\triangle LBG}=\frac{AZ\cdot ZB}{BG^2}}.\]

En el caso de la hipérbola, la proposición tiene 11 casos, ya que la proposición anterior tenía 11 para la parábola; y otro caso más, cuando el punto Η es idéntico al punto Ε: encontramos entonces que \(\mathrm{\triangle EDZ+\triangle LBG=\triangle GEZ}\), porque se ha demostrado que \(\mathrm{\triangle EDZ=⏢ LBZE}\), y que \(\mathrm{⏢ LBZE=\triangle GEZ-\triangle LBG}\).

En el caso de la elipse, el punto Η es idéntico al punto Ε, o se toma para estar dentro de Ε, y es obvio que las dos paralelas caerá entre el punto D y Ζ, como se ve en el texto.

Si Η se lleva más allá de Ε, y el paralelo a ΕΖ, llevado desde Η, cae entre Ζ y G, el punto C produce 5 casos: cae entre D y Β, o en Β, o entre Β y Ζ, o en Ζ, o entre Ζ y G.

Si la paralela a la línea bajada, que pasa por Η, cae sobre el centro G, el punto C producirá igualmente otros 5 casos. Aquí debemos señalar que el triángulo obtenido mediante las paralelas a las líneas ΕD y ΕΖ es igual al triángulo LBG.

En efecto, puesto que \[\mathrm{\frac{\triangle EDZ}{\triangle HCG}=\frac{EZ^2}{HG^2}}\] en virtud de su semejanza- y \[\mathrm{\frac{BZ\cdot ZA}{BG\cdot GA}=\frac{BZ\cdot ZA}{BG^2}=\frac{EZ^2}{HG^2}},\] por lo que \[\mathrm{\frac{BZ\cdot ZA}{BG^2}=\frac{\triangle EDZ}{\triangle HCG}};\] ahora se ha demostrado que \[\mathrm{\frac{⏢ LBZE}{\triangle LBG}=\frac{BZ\cdot ZA}{BG^2}};\] \[\mathrm{\frac{⏢ LBZE}{\triangle LBG}=\frac{\triangle EDZ}{\triangle HCG}}.\] Y por permutación. - Estos últimos casos se pueden mostrar de otra manera, diciendo que estas cosas se muestran en [Comen.Prop. I.41] sobre los paralelogramos que son dobles de estos triángulos.

Si la paralela a ΕΖ, conducida por Η, cae entre G y Α, se prolongará hasta que GΕ se encuentre con ella, y el punto C producirá 7 casos: cae o bien entre Β y D, o bien en Β, o bien entre Β y Ζ, o bien en Ζ, o bien entre Ζ y G, o bien en G, o bien entre G y Α. En estos casos, vemos que la diferencia de los triángulos LBG y ΗCΚ se construye por debajo de la línea ΑΒ por la extensión de la línea LG.

Si el punto Η se toma desde el otro lado de la sección, y la paralela a ΕΖ, conducida desde Η, cae entre Β y Ζ, se extenderá, por la demostración, hasta intersectar la línea LG, y el punto C producirá 7 casos, porque está entre Β y Ζ, o cae en Ζ, o entre Ζ y G, o en G, o entre G y Α, o en Α, o más allá de Α.

Si la paralela a ΕΖ, conducida desde Η, cae en Ζ, de modo que ΕΖΗ forma una sola línea recta, el punto C producirá 5 casos: caerá entre Ζ y G, o en G, o entre G y Α, o en Α, o más allá de Α.

Si la línea ΗΚ entre Ζ y G, el punto C producirá 5 casos, ya que caerá entre Ζ y G, o en G, o entre G y Α, o en Α, o más allá de Α.

Si la recta ΗΚ cae sobre el centro G, el punto C producirá 3 casos: caerá entre G y Α, o en Α, o más allá de Α. En estos casos, vemos que el triángulo ΗCΚ es igualmente igual al triángulo LBG.

Si la línea ΗΚ cae entre G y Α, el punto C caerá entre G y Α, o dentro de Α, o más allá de Α.

Así, vemos que en el caso de una elipse, hay un total de 42 casos, y de forma semejante para la circunferencia de un círculo, con lo que el número total de casos para esta proposición es de 96.