Si una tangente a una parábola encuentra a un diámetro, por el punto de contacto se traza una paralela a este diámetro y por el vértice otra a una recta trazada ordenadamente y se hace de modo que una recta sea al doble de la tangente como los segmentos de esta y de la paralela entre la ordenada y el punto de contacto, el cuadrado de toda recta trazada en la curva a la paralela por el punto de contacto al diámetro, será equivalente al rectángulo limitado por la recta tomada y la separada, a partir del punto de contacto, por la recta trazada en la curva.

Sea una parábola de diámetro MBG y GD su tangente Paso 1, y tracemos desde D una paralela ZDN a BG Paso 2, y tracemos ZB como ordenada Paso 3, y de manera que ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}}}$ para alguna recta H Paso 4 y tomemos un punto cualquiera K de la sección, y tracemos por K una paralela KLO a GD Paso 5.

Digo que KL²=H∙DL, esto es, si DL es un diámetro, H es el lado recto.

Tracemos DC y KNM como ordenadas Paso 6. Y ya que GD es tangente a la sección, y DC una ordenada, entonces GB=BC [Prop. I.35].

Pero BC=ZD [Euclides:Prop. I.34 ]. Y así GB=ZD. Y por tanto △ EGB=△ EZD [Euclides:Prop. VI.19 ].

Añadiendo la figura común DEBMN, así ⏢ DGMN=▱ ZM. Ya que KP es paralela a la tangente DG, entonces ⏢ DGMN = △ KPM [Prop. I.42], de donde ⏢ DGMN = △ KPM.

Restando el cuadrilátero ⏢LPMN, así △ KLN=▱ LG. Y $\widehat{\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{P}}=\widehat{\mathrm{K}\mathrm{L}\mathrm{N}}$, así KL∙LN=2GD∙DL. Se tiene ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}}}$, y, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{N}}}$, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{N}}}$.

Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{K}\mathrm{L}\cdot \mathrm{L}\mathrm{N}}}$, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}}$, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{K}\mathrm{L}\cdot \mathrm{L}\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}{2\mathrm{G}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{G}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}{\mathrm{G}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{L}}}$, así KL²=H∙DL.

Q. E. D.

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