Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que la recta AB sea menor que la recta AC, y se trata de construir una elipse sobre AB como diámetro y tal que AC sea el lado recto.

Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que AB < AG Paso 1, y se trata de construir una elipse sobre AB como diámetro y tal que AG sea el lado recto.

Bisequemos AB en D , y desde D tracemos una perpendicular EDZ a la recta AB Paso 2, y $\mathrm{Z}{\mathrm{E}}^2=\mathrm{B}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{G}$, mientras que DE = ZD. Tracemos una paralela ZH a la recta AB de manera que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}$, así EZ > EH Paso 3. Como, por hipótesis, $\mathrm{E}{\mathrm{Z}}^2=\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{G}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}}={\displaystyle \frac{4\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}{4\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}$, así, ya que DZ = DE, ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{D}\mathrm{Z}}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}$.

Entonces con dos rectas limitadas perpendiculares entre sí y con EZ más grande, consideramos la elipse cuyo diámetro es EZ y lado recto recto ZH [Prop. I.56], entonces la sección pasará por A ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{Z}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}$ [Prop. I.21]. Y AD=DB, luego también pasará por B. Entonces una elipse ha sido descrita sobre AB Paso 4.

Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{A}}^2}}$, y DA²=AD∙DB, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{D}\cdot \mathrm{D}\mathrm{B}}}$. Y por tanto AG es el lado recto [Prop. I.21].

Q. E. F.