Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que la recta AB sea menor que la recta AC, y se trata de construir una elipse sobre AB como diámetro y tal que AC sea el lado recto.

Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que AB < AG Paso 1, y se trata de construir una elipse sobre AB como diámetro y tal que AG sea el lado recto.

Bisequemos AB en D , y desde D tracemos una perpendicular EDZ a la recta AB Paso 2, y \(\rm ZE^2 = BA\cdot AG\), mientras que DE = ZD. Tracemos una paralela ZH a la recta AB de manera que \(\rm \dfrac{AG}{AB} = \dfrac{EZ}{ZH}\), así EZ > EH Paso 3. Como, por hipótesis, \(\rm EZ^2 = AB\cdot AG\), entonces \(\rm \dfrac{EZ^2}{AB^2} = \dfrac{AB\cdot AG}{AB^2} =\dfrac{AG}{AB}\). Ya que \(\rm\dfrac{EZ^2}{AB^2} =\dfrac{4DZ^2}{4DA^2} =\dfrac{DZ^2}{DA^2}\), entonces \(\rm \dfrac{DZ^2}{DA^2}=\dfrac{AG}{AB}\). Pero \(\rm \dfrac{EZ}{ZH} =\dfrac{AG}{AB}\), luego \(\rm \dfrac{DZ^2}{DA^2} =\dfrac{EZ}{ZH}\), así, ya que DZ = DE, \(\rm \dfrac{DE\cdot DZ}{DA^2} = \dfrac{EZ}{ZH} \).

Entonces con dos rectas limitadas perpendiculares entre sí y con EZ más grande, consideramos la elipse cuyo diámetro es EZ y lado recto recto ZH [Prop. I.56], entonces la sección pasará por A ya que \(\rm \dfrac{ZD\cdot DE}{DA^2} = \dfrac{EZ}{ZH}\) [Prop. I.21]. Y AD=DB, luego también pasará por B. Entonces una elipse ha sido descrita sobre AB Paso 4.

Ya que \(\rm \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{ZD^2}{DA^2}\), y DA²=AD∙DB, así \(\rm \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{DZ^2}{AD\cdot DB}\). Y por tanto AG es el lado recto [Prop. I.21].

Q. E. F.