Cortando las dos superficies cónicas opuestas por el vértice por un plano que no pase por el eje se tendrá en cada superficie una sección llamada hipérbola; el diámetro de ambas secciones será el mismo: los parámetros de las rectas trazadas ordenadamente al diámetro y paralelas a la situada en la base del cono serán iguales y el eje transverso de la figura será la recta que une los vértices de las dos secciones, a las cuales llamo opuestas.

Sean superficies opuestas por el vértice, con vértice el punto A Paso 1, cortémoslas por un plano que no pasa por el vértice, y supongamos que este plano determina sobre la superficie del cono las líneas DEZ y HQK Paso 2.

Digo que cada una de las secciones DEZ y HQK es una hipérbola.

Sea un círculo BGDZ sobre el que se desplaza la recta que describe la superficie Paso 3 y en la otra superficie opuesta por el vértice, tracemos un plano OGPK paralelo a este círculo Paso 4 y ZD y HK [Prop. I.4] son las intersecciones del plano de las secciones HQK y ZED, y de los planos de los círculos Paso 5. Entonces [Euclides:Prop. XI.16] serán paralelas. Y sea la recta LAY el eje de la superficie cónica y L e Y los centros de los círculos Paso 6. Tracemos desde L una perpendicular a ZD y prolonguémosla hasta los puntos B y G Paso 7, y tracemos un plano que pase por BG y el eje del cono. Entonces [Euclides:Prop. XI.16] determinará secciones en los planos de los círculos las rectas paralelas CO y BG, y sobre la superficie [Prop. I.1 y Def. I.1] BAO y GAC Paso 8.

Entonces CO es perpendicular a HK, ya que BG es perpendicular a ZD, y [Euclides:Prop. XI.10] cada una de estas dos rectas es paralela a la otra. Y ya que el plano que pasa por el eje corta a las secciones en los puntos M y N en el interior de las líneas, es claro que el plano que pasa por el eje también corta a las líneas. Supongamos que Q y E sean dichos puntos de corte Paso 9. Así M, E, Q y N son puntos del plano que pasa por el eje y del plano de las líneas, así [Euclides:Prop. XI.3] la línea MEQN es una línea recta. También es evidente que C, Q, A y G están en una recta y B, E, A y O están en una recta [Prop. I.1]; todos ellos están en la superficie cónica y en el plano que pasa por el eje. Tracemos por Q y E perpendiculares QR y EP a QE Paso 10, y tracemos desde A una paralela SAT a MEQN, de manera que ${\displaystyle \frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{EP}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{AS}}^2}{\mathrm{BS}\cdot \mathrm{SG}}}$ Paso 11, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{QR}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{AT}}^2}{\mathrm{AT}\cdot \mathrm{TC}}}$.

Ya que el cono de vértice A y base el círculo BG ha sido cortado por un plano que pasa por su eje, y que produce como sección el triángulo ABG, y que también ha sido cortado por un plano que corta a la base del cono en DMZ perpendicular a BG, y produce como sección sobre la superficie cónica la línea DEZ, y la prolongación del diámetro ME corta a un lado del triángulo axial más allá del vértice del cono, y que desde el punto A ha sido trazada una paralela AS al diámetro de la sección EM, y desde E ha sido trazada una perpendicular EP a EM con $$\frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{EP}}=\frac{{\mathrm{AS}}^2}{\mathrm{BS}\cdot \mathrm{SG}},$$ así [Prop. I.12] la sección DEZ es una hipérbola, EP es el lado recto y QE es el lado transverso.

Análogamente HQK es una hipérbola cuyo diámetro es QN, cuyo lado recto es QR y su lado transverso es QE.

Digo que EP = QR.

Ya que, por semejanza de triángulos, $$\frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{TC}}=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SG}}\text{ y }\frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{TO}}=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SB}},$$ entonces $$\frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{TC}}\cdot \frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{TO}}=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SG}}\cdot \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SB}},$$ luego $$\frac{{\mathrm{AT}}^2}{\mathrm{TC}\cdot \mathrm{TO}}=\frac{{\mathrm{AS}}^2}{\mathrm{SG}\cdot \mathrm{SB}}.$$ Pero $$\frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{EP}}=\frac{{\mathrm{AS}}^2}{\mathrm{SG}\cdot \mathrm{SB}}\text{ y }\frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{QR}}=\frac{{\mathrm{AT}}^2}{\mathrm{TC}\cdot \mathrm{TO}},$$ de donde $$\frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{EP}}=\frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{QR}}.$$ Por tanto EP = QR.

Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{Q}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{S}}^2}{\mathrm{S}\mathrm{C}\cdot \mathrm{S}\mathrm{B}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{H}\mathrm{R}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{T}}^2}{\mathrm{T}\mathrm{O}\cdot \mathrm{T}\mathrm{P}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{Q}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{H}\mathrm{R}}}$. Por tanto EQ = HR.

Q. E. D.

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