Cortando las dos superficies cónicas opuestas por el vértice por un plano que no pase por el eje se tendrá en cada superficie una sección llamada hipérbola; el diámetro de ambas secciones será el mismo: los parámetros de las rectas trazadas ordenadamente al diámetro y paralelas a la situada en la base del cono serán iguales y el eje transverso de la figura será la recta que une los vértices de las dos secciones, a las cuales llamo opuestas.

Sean superficies opuestas por el vértice, con vértice el punto A Paso 1, cortémoslas por un plano que no pasa por el vértice, y supongamos que este plano determina sobre la superficie del cono las líneas DEZ y HQK Paso 2.

Digo que cada una de las secciones DEZ y HQK es una hipérbola.

Sea un círculo BGDZ sobre el que se desplaza la recta que describe la superficie Paso 3 y en la otra superficie opuesta por el vértice, tracemos un plano OGPK paralelo a este círculo Paso 4 y ZD y HK [Prop. I.4] son las intersecciones del plano de las secciones HQK y ZED, y de los planos de los círculos Paso 5. Entonces [Euclides:Prop. XI.16] serán paralelas. Y sea la recta LAY el eje de la superficie cónica y L e Y los centros de los círculos Paso 6. Tracemos desde L una perpendicular a ZD y prolonguémosla hasta los puntos B y G Paso 7, y tracemos un plano que pase por BG y el eje del cono. Entonces [Euclides:Prop. XI.16] determinará secciones en los planos de los círculos las rectas paralelas CO y BG, y sobre la superficie [Prop. I.1 y Def. I.1] BAO y GAC Paso 8.

Entonces CO es perpendicular a HK, ya que BG es perpendicular a ZD, y [Euclides:Prop. XI.10] cada una de estas dos rectas es paralela a la otra. Y ya que el plano que pasa por el eje corta a las secciones en los puntos M y N en el interior de las líneas, es claro que el plano que pasa por el eje también corta a las líneas. Supongamos que Q y E sean dichos puntos de corte Paso 9. Así M, E, Q y N son puntos del plano que pasa por el eje y del plano de las líneas, así [Euclides:Prop. XI.3] la línea MEQN es una línea recta. También es evidente que C, Q, A y G están en una recta y B, E, A y O están en una recta [Prop. I.1]; todos ellos están en la superficie cónica y en el plano que pasa por el eje. Tracemos por Q y E perpendiculares QR y EP a QE Paso 10, y tracemos desde A una paralela SAT a MEQN, de manera que \(\mathrm{\dfrac{QE}{EP} = \dfrac{AS^2}{BS\cdot SG}}\) Paso 11, y \(\mathrm{\dfrac{EQ}{QR} = \dfrac{AT^2}{AT\cdot TC}}\).

Ya que el cono de vértice A y base el círculo BG ha sido cortado por un plano que pasa por su eje, y que produce como sección el triángulo ABG, y que también ha sido cortado por un plano que corta a la base del cono en DMZ perpendicular a BG, y produce como sección sobre la superficie cónica la línea DEZ, y la prolongación del diámetro ME corta a un lado del triángulo axial más allá del vértice del cono, y que desde el punto A ha sido trazada una paralela AS al diámetro de la sección EM, y desde E ha sido trazada una perpendicular EP a EM con \[\mathrm{\frac{EQ}{EP} = \frac{AS^2}{BS\cdot SG}},\] así [Prop. I.12] la sección DEZ es una hipérbola, EP es el lado recto y QE es el lado transverso.

Análogamente HQK es una hipérbola cuyo diámetro es QN, cuyo lado recto es QR y su lado transverso es QE.

Digo que EP = QR.

Ya que, por semejanza de triángulos, \[\mathrm{\frac{AT}{TC} = \frac{AS}{SG}} \text{ y } \mathrm{\frac{AT}{TO} = \frac{AS}{SB}},\] entonces \[\mathrm{\frac{AT}{TC}\cdot\frac{AT}{TO} = \frac{AS}{SG}\cdot\frac{AS}{SB}},\] luego \[\mathrm{\frac{AT^2}{TC\cdot TO} = \frac{AS^2}{SG\cdot SB}}.\] Pero \[\mathrm{\frac{QE}{EP} = \frac{AS^2}{SG\cdot SB}} \text { y } \mathrm{\frac{QE}{QR} = \frac{AT^2}{TC\cdot TO}},\] de donde \[\mathrm{\frac{QE}{EP} = \frac{QE}{QR}}.\] Por tanto EP = QR.

Pero \(\rm\dfrac{HE}{EQ}=\dfrac{AS^2}{SC\cdot SB}\) y \(\rm\dfrac{HE}{HR}=\dfrac{AT^2}{TO\cdot TP}\), de donde \(\rm\dfrac{HE}{EQ}=\dfrac{HE}{HR}\). Por tanto EQ = HR.

Q. E. D.

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