Los cuadrados de las rectas trazadas ordenadamente en la hipérbola, en la elipse o en la circunferencia sobre el diámetro son a las áreas limitadas por la rectas que determinan a partir de los extremos del lado transverso de la figura, como el lado recto de esta es al transverso, y serán entre sí como las áreas limitadas por las rectas como hemos dicho.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB Paso 1 y cuyo lado recto para las ordenadas al diámetro es AG Paso 2, y tracemos DE y ZH como ordenadas Paso 3.

Digo que \(\rm\dfrac{ZH^2}{AH\cdot HB}=\dfrac{AG}{AB}\) y \(\rm\dfrac{ZH^2}{DE^2}=\dfrac{AH\cdot HB}{AE\cdot EB}\).

Tracemos una recta de unión BG Paso 4, diagonal de la figura característica, y desde E y H tracemos paralelas EQ y HK a AG Paso 5. Así ZH²=KH⋅HA y DE²=QE⋅EA [Prop.I.12 y Prop.I.13] .

Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{GA}{AB}=\dfrac{KH}{HB}\), entonces \(\rm\dfrac{GA}{AB}=\dfrac{KH\cdot HA}{BH\cdot HA}=\dfrac{ZH^2}{HB\cdot AH}\).

Entonces por las mismas razones \(\rm\dfrac{GA}{AB}=\dfrac{QE\cdot EA}{BE\cdot EA}=\dfrac{DE^2}{BE\cdot EA}\).

Y así \(\rm\dfrac{DE^2}{BE\cdot EA}=\dfrac{ZH^2}{BH\cdot HA}\), y alternativamente \(\rm\dfrac{BH\cdot HA}{BE\cdot EA}=\dfrac{ZH^2}{DE^2}\).

Q. E. D.

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