Proposición 21

Los cuadrados de las rectas trazadas ordenadamente en la hipérbola, en la elipse o en la circunferencia sobre el diámetro son a las áreas limitadas por la rectas que determinan a partir de los extremos del lado transverso de la figura, como el lado recto de esta es al transverso, y serán entre sí como las áreas limitadas por las rectas como hemos dicho.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia, de diámetro AB y cuyo lado recto para las ordenadas al diámetro es AG , y tracemos DE y ZH como ordenadas .

Digo que $\frac{Z H^{2}}{A H \cdot H B} = \frac{A G}{A B}$ y $\frac{Z H^{2}}{D E^{2}} = \frac{A H \cdot H B}{A E \cdot E B}$ .

Tracemos una recta de unión BG , diagonal de la figura característica, y desde E y H tracemos paralelas EQ y HK a AG . Así ZH²=KH⋅HA y DE²=QE⋅EA [Prop.I.12 y Prop.I.13] .

Ya que, por semejanza de triángulos, $\frac{G A}{A B} = \frac{K H}{H B}$ , entonces $\frac{G A}{A B} = \frac{K H \cdot H A}{B H \cdot H A} = \frac{Z H^{2}}{H B \cdot A H}$ .

Entonces por las mismas razones $\frac{G A}{A B} = \frac{Q E \cdot E A}{B E \cdot E A} = \frac{D E^{2}}{B E \cdot E A}$ .

Y así $\frac{D E^{2}}{B E \cdot E A} = \frac{Z H^{2}}{B H \cdot H A}$ , y alternativamente $\frac{B H \cdot H A}{B E \cdot E A} = \frac{Z H^{2}}{D E^{2}}$ .

Q. E. D.

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