Si una recta que encuentra a una de las secciones opuestas, pasa por el centro, encontrará a la otra sección.

Sean hipérbolas opuestas de diámetro transverso AB y centro G Paso 1, y tracemos la recta GD que corta a la hipérbola AD Paso 2.

Digo que también cortará a la otra hipérbola.

Tracemos ED como ordenada Paso 3 y hagamos BZ=AE y tracemos ZH como ordenada Paso 4. Ya que EA=BZ, y AB es común, entonces BE∙EA=BZ∙ZA.

Ya que \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{BE\cdot EA}{DE^2}\) y \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{AZ\cdot ZB}{ZH^2}\) [Prop. I.21], así \(\rm \dfrac{AZ\cdot ZB}{ZH^2} = \dfrac{BE\cdot EA}{DE^2}\).

Pero BE∙EA=BZ∙ZA, así DE²=ZH².

Ya que EG=GZ y DE=ZH, y EZ es una línea recta, y ED es paralela a ZH, así DH es también una línea recta [Euclides:Prop. VI.32]. Así la prolongación de GD también cortará a la otra hipérbola.

Q. E. D.