Si una recta que encuentra a una de las secciones opuestas, pasa por el centro, encontrará a la otra sección.

Sean hipérbolas opuestas de diámetro transverso AB y centro G Paso 1, y tracemos la recta GD que corta a la hipérbola AD Paso 2.

Digo que también cortará a la otra hipérbola.

Tracemos ED como ordenada Paso 3 y hagamos BZ=AE y tracemos ZH como ordenada Paso 4. Ya que EA=BZ, y AB es común, entonces BE∙EA=BZ∙ZA.

Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{A}}{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{Z}\cdot \mathrm{Z}\mathrm{B}}{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}}$ [Prop. I.21], así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{Z}\cdot \mathrm{Z}\mathrm{B}}{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{A}}{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}}$.

Pero BE∙EA=BZ∙ZA, así DE²=ZH².

Ya que EG=GZ y DE=ZH, y EZ es una línea recta, y ED es paralela a ZH, así DH es también una línea recta [Euclides:Prop. VI.32]. Así la prolongación de GD también cortará a la otra hipérbola.

Q. E. D.