Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una recta de un modo ordenado, la recta separada por este a partir del centro de la curva, limitará con la separada por la tangente a partir del centro de la sección, un área equivalente al cuadrado de la recta que pasa por el centro, y con la situada entre la tangente y la trazada ordenadamente limitará un área cuya razón al cuadrado de esta es la misma que la del lado transverso al recto.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB Paso 1, y tracemos una tangente GD Paso 2, y una ordenada GE Paso 3, y sea Z el centro Paso 4.

Digo que DZ∙ZE=ZB² y \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{DE\cdot EZ}{EG^2}\).

Ya que GD es tangente a la sección, tracemos GE como ordenada.

En el caso de la hipérbola, se tiene \(\rm \dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AD}{DB}\) [Prop. I.36], de donde \(\rm \dfrac{AE+EB}{EB} = \dfrac{AD+DB}{DB}\). Así \(\rm \dfrac{\frac{1}{2}(AE+EB)}{EB} = \dfrac{\frac{1}{2}(AD+DB)}{DB}\) [Euclides:Prop. V.15]. Ya que, \(\rm \frac{1}{2}(AE+EB)=\frac{1}{2}(AB+2EB)=(ZB+EB)=ZE\), y \(\rm \frac{1}{2}(AD+DB)=\frac{1}{2}AB=ZB\), entonces \(\rm \dfrac{ZB}{DB} = \dfrac{ZE}{EB}\), de donde \(\rm \dfrac{ZB}{ZD} = \dfrac{ZB}{ZB-EB} = \dfrac{ZE}{ZE-EB}=\dfrac{ZE}{ZB}\), luego \(\rm ZB^2 = ZE\cdot ZD\).

Por otra parte, ya que ZB = AZ, de \(\rm \dfrac{ZB}{DB} = \dfrac{ZE}{EB}\) resulta que \(\rm \dfrac{AZ}{DB} = \dfrac{AZ}{EB}\), de donde \(\rm \dfrac{DB}{EB} = \dfrac{AZ}{ZE}\), luego \(\rm \dfrac{DE}{EB}=\dfrac{DB+BE}{EB} = \dfrac{AZ+ZE}{ZE}=\dfrac{AE}{ZE}\). Por tanto \(\rm DE\cdot ZE = AE\cdot EB\). Ya que \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{AE\cdot EB}{GE^2}\) [Prop. I.21] , de donde \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{DE\cdot ZE}{GE^2}\).

En el caso de la elipse y de la circunferencia, \(\rm \frac{1}{2}(AE+EB)=ZB\) y \(\rm\frac{1}{2}(AD+DB)=\frac{1}{2}AB+DB=ZB+DB=DZ\), así \(\rm \dfrac{ZB}{EB} = \dfrac{ZD}{DB}\), de donde \(\rm \dfrac{ZB}{ZE} =\dfrac{ZB}{ZB-EB} = \dfrac{ZD}{ZD-DB}=\dfrac{ZD}{ZB}\). Por tanto \(\rm ZB^2=ZD\cdot ZE\).

Por otra parte, \(\rm DZ\cdot ZE=(DE+ZE)ZE=DE\cdot ZE+ZE^2\) [Euclides:Prop. II.3]. Además, \(\rm BZ^2-ZE^2=(BZ+ZE)(BZ-ZE)=AE\cdot EB\), de donde \(\rm BZ^2=AE\cdot EB+ZE^2\) [Euclides:Prop. II.5].

Entonces \(\rm DE\cdot ZE+ZE^2=AE\cdot EB+ZE^2\), de donde \(\rm DE\cdot ZE=AE\cdot EB\), luego \(\rm \dfrac{DE\cdot ZE}{GE^2} = \dfrac{AE\cdot EB}{GE^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{AE\cdot EB}{GE^2}\) [Prop. I.21], entonces \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{DE\cdot EZ}{GE^2}\).

Q. E. D.

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