Proposición 37

Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra a un diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una recta de un modo ordenado, la recta separada por este a partir del centro de la curva, limitará con la separada por la tangente a partir del centro de la sección, un área equivalente al cuadrado de la recta que pasa por el centro, y con la situada entre la tangente y la trazada ordenadamente limitará un área cuya razón al cuadrado de esta es la misma que la del lado transverso al recto.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB , y tracemos una tangente GD , y una ordenada GE , y sea Z el centro .

Digo que DZ∙ZE=ZB2 y transversumrectum=DEEZEG2.

Ya que GD es tangente a la sección, tracemos GE como ordenada.

En el caso de la hipérbola, se tiene AEEB=ADDB [Prop. I.36], de donde AE+EBEB=AD+DBDB. Así 12(AE+EB)EB=12(AD+DB)DB [Euclides:Prop. V.15]. Ya que, 12(AE+EB)=12(AB+2EB)=(ZB+EB)=ZE, y 12(AD+DB)=12AB=ZB, entonces ZBDB=ZEEB, de donde ZBZD=ZBZBEB=ZEZEEB=ZEZB, luego ZB2=ZEZD.

Por otra parte, ya que ZB = AZ, de ZBDB=ZEEB resulta que AZDB=AZEB, de donde DBEB=AZZE, luego DEEB=DB+BEEB=AZ+ZEZE=AEZE. Por tanto DEZE=AEEB. Ya que transversumrectum=AEEBGE2 [Prop. I.21] , de donde transversumrectum=DEZEGE2.

En el caso de la elipse y de la circunferencia, 12(AE+EB)=ZB y 12(AD+DB)=12AB+DB=ZB+DB=DZ, así ZBEB=ZDDB, de donde ZBZE=ZBZBEB=ZDZDDB=ZDZB. Por tanto ZB2=ZDZE.

Por otra parte, DZZE=(DE+ZE)ZE=DEZE+ZE2 [Euclides:Prop. II.3]. Además, BZ2ZE2=(BZ+ZE)(BZZE)=AEEB, de donde BZ2=AEEB+ZE2 [Euclides:Prop. II.5].

Entonces DEZE+ZE2=AEEB+ZE2, de donde DEZE=AEEB, luego DEZEGE2=AEEBGE2. Ya que transversumrectum=AEEBGE2 [Prop. I.21], entonces transversumrectum=DEEZGE2.

Q. E. D.

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