Si una recta corta al diámetro de una parábola, su prolongación cortará a la curva.

Sea una parábola de diámetro AB Paso 1, y tracemos una recta GD que lo corte en el interior de la sección Paso 2.

Digo que la prolongación en ambos sentidos cortará a la sección.

Tracemos desde A una paralela AE a una ordenada Paso 3, así AE caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Entonces GD es paralela o no a AE.

Si es paralela, ha sido trazada como una ordenada, por tanto la prolongación en ambos sentidos cortará a la sección [Prop. I.18].

Si no es paralela, pero la prolongación corta a AE en E. Entonces es evidente que corta a la sección en el lado de E pues corta a AE, y por tanto corta a la sección.

Digo que la prolongación en la otra dirección corta también a la sección.

Sea AM el lado recto para las ordenadas al diámetro Paso 4, y HZ una ordenada Paso 5, y AD²=AB∙AZ, y BK paralela a una ordenada corta a DG en G Paso 6. Ya que $\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{Z}=\mathrm{A}{\mathrm{D}}^2$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{Z}}}$, y así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{D}-\mathrm{A}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}}$. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{D}}^2}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{Z}}}$.

Pero, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{Z}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Z}}^2}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{A}\mathrm{Z}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}}$.

Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{A}\mathrm{Z}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}}$, y correspondientemente ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{Z}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{M}}}$.

Pero ZH²=ZA∙AM [Prop. I.11]. Así BG²=AB∙AM.

Pero AM es el lado recto, y BG paralela a una ordenada. Así la sección pasa por G [Prop. I.20], y GD corta a la sección en G.

Q. E. D.

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