Si una recta corta al diámetro de una parábola, su prolongación cortará a la curva.

Sea una parábola de diámetro AB Paso 1, y tracemos una recta GD que lo corte en el interior de la sección Paso 2.

Digo que la prolongación en ambos sentidos cortará a la sección.

Tracemos desde A una paralela AE a una ordenada Paso 3, así AE caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Entonces GD es paralela o no a AE.

Si es paralela, ha sido trazada como una ordenada, por tanto la prolongación en ambos sentidos cortará a la sección [Prop. I.18].

Si no es paralela, pero la prolongación corta a AE en E. Entonces es evidente que corta a la sección en el lado de E pues corta a AE, y por tanto corta a la sección.

Digo que la prolongación en la otra dirección corta también a la sección.

Sea AM el lado recto para las ordenadas al diámetro Paso 4, y HZ una ordenada Paso 5, y AD²=AB∙AZ, y BK paralela a una ordenada corta a DG en G Paso 6. Ya que \(\rm AB\cdot AZ=AD^2\), entonces \(\rm \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AZ}\), y así \(\rm \dfrac{AB-AD}{AD-AZ}=\dfrac{AB}{AD}\), luego \(\rm \dfrac{BD}{DZ}=\dfrac{AB}{AD} \). Así \(\rm\dfrac{BD^2}{DZ^2}=\dfrac{AB^2}{AD^2}\), de donde \(\rm\dfrac{BD^2}{DZ^2}=\dfrac{AB^2}{AB\cdot AZ}=\dfrac{AB}{AZ}\).

Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{BG}{ZH} = \dfrac{BD}{DZ}\), de donde \(\rm \dfrac{BG^2}{ZH^2} = \dfrac{BD^2}{DZ^2}\), luego \(\rm\dfrac{AB}{AZ}=\dfrac{AB\cdot AM}{AZ\cdot AM}\).

Así \(\rm\dfrac{AB\cdot AM}{AZ\cdot AM}=\dfrac{BG^2}{ZH^2}\), y correspondientemente \(\rm\dfrac{ZH^2}{AZ\cdot AM}=\dfrac{BG^2}{AB\cdot AM}\).

Pero ZH²=ZA∙AM [Prop. I.11]. Así BG²=AB∙AM.

Pero AM es el lado recto, y BG paralela a una ordenada. Así la sección pasa por G [Prop. I.20], y GD corta a la sección en G.

Q. E. D.

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