Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que el ángulo dado no es recto.

Supongamos que el ángulo dado no es recto y sean AB y AG las dos rectas dadas Paso 1 y que el ángulo dado sea igual a $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{Q}}$ Paso 2. Describamos una hipérbola de diámetro AB, de lado recto AG, y tal que las ordenadas sean trazadas según el ángulo $\widehat{\mathrm{Q}\mathrm{A}\mathrm{B}}$.

Bisequemos AB por el punto D, y describamos un semicírculo AZD sobre AD Paso 3, tracemos hasta el semicírculo una paralela ZH a AQ tal que ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$ Paso 4, tracemos la recta de unión ZQD y prolonguémosla hasta D Paso 5, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{L}}{\mathrm{D}\mathrm{Q}}}$, hagamos DK=DL Paso 6, LZ∙ZM=AZ², y tracemos la recta de unión KM Paso 7, y desde L tracemos la perpendicular LN a KZ, y prolonguémosla hasta C Paso 8.

Con las dos rectas acotadas KL y LN perpendiculares entre sí, describamos una hipérbola cuyo lado transverso sea KL, de lado recto AN, y tal que las ordenadas serán trazadas perpendicularmente al diámetro y que sus cuadrados sean equivalentes a las áreas que, aplicadas a la recta LN tengan por anchura las rectas que separan a partir de L, aumentadas en una figura semejante al rectángulo de las rectas KL y LN semejantemente dispuesta y la sección pasará por A [Prop. I.12] pues AZ²=LZ∙ZM Paso 9.

Además la recta AQ será tangente a esta sección, ya que ZD∙DQ=DL² [Prop. I.37], y ya que DK = LD, entonces D es el centro de la hipérbola, luego la recta AB, que pasa por el centro es un diámetro [Prop. I.47]. Se tiene ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{D}}}$, pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}}\cdot {\displaystyle \frac{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}{2\mathrm{A}\mathrm{D}}}$, de donde, ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{Q}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}$.

Por otra parte ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}$. Simplificando, tenemos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$.

Pero, debido a que los triángulos ACO y HAZ son equiángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{O}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{O}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{A}}{2\mathrm{A}\mathrm{Q}}}$. Por tanto, AG es el lado recto de la hipérbola encontrada [Prop. I.50].

Q. E. F.

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