Sean las mismas cosas que antes y supongamos ahora que el ángulo dado no es recto.

Supongamos que el ángulo dado no es recto y sean AB y AG las dos rectas dadas Paso 1 y que el ángulo dado sea igual a \(\widehat{\rm BAQ}\) Paso 2. Describamos una hipérbola de diámetro AB, de lado recto AG, y tal que las ordenadas sean trazadas según el ángulo \(\widehat{\rm QAB}\).

Bisequemos AB por el punto D, y describamos un semicírculo AZD sobre AD Paso 3, tracemos hasta el semicírculo una paralela ZH a AQ tal que \(\rm \dfrac{ZH^2}{DH\cdot HA} = \dfrac{AG}{AB}\) Paso 4, tracemos la recta de unión ZQD y prolonguémosla hasta D Paso 5, y \(\rm \dfrac{ZD}{DL} = \dfrac{DL}{DQ}\), hagamos DK=DL Paso 6, LZ∙ZM=AZ², y tracemos la recta de unión KM Paso 7, y desde L tracemos la perpendicular LN a KZ, y prolonguémosla hasta C Paso 8.

Con las dos rectas acotadas KL y LN perpendiculares entre sí, describamos una hipérbola cuyo lado transverso sea KL, de lado recto AN, y tal que las ordenadas serán trazadas perpendicularmente al diámetro y que sus cuadrados sean equivalentes a las áreas que, aplicadas a la recta LN tengan por anchura las rectas que separan a partir de L, aumentadas en una figura semejante al rectángulo de las rectas KL y LN semejantemente dispuesta y la sección pasará por A [Prop. I.12] pues AZ²=LZ∙ZM Paso 9.

Además la recta AQ será tangente a esta sección, ya que ZD∙DQ=DL² [Prop. I.37], y ya que DK = LD, entonces D es el centro de la hipérbola, luego la recta AB, que pasa por el centro es un diámetro [Prop. I.47]. Se tiene \(\rm \dfrac{ZH^2}{DH\cdot HA} = \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{GA}{2AD}\), pero \(\rm \dfrac{GA}{2AD} = \dfrac{GA}{2AQ}\cdot\dfrac{2AQ}{2AD}\), de donde, ya que \(\rm \dfrac{ZH}{HD} = \dfrac{AQ}{AD}\), \(\rm \dfrac{GA}{2AD} = \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{GA}{2AQ}\cdot\dfrac{ZH}{HD}\).

Por otra parte \(\rm \dfrac{ZH^2}{DH\cdot HA} = \dfrac{ZH}{HD}\cdot\dfrac{ZH}{HA}\), así \(\rm \dfrac{ZH}{DH}\cdot\dfrac{ZH}{HA} = \dfrac{GA}{2AQ}\cdot\dfrac{ZH}{HD}\). Simplificando, tenemos que \(\rm \dfrac{GA}{2AQ} = \dfrac{ZH}{HA}\).

Pero, debido a que los triángulos ACO y HAZ son equiángulos, \(\rm \dfrac{OA}{AC} = \dfrac{ZH}{HA}\), así \(\rm \dfrac{OA}{AC} = \dfrac{GA}{2AQ}\). Por tanto, AG es el lado recto de la hipérbola encontrada [Prop. I.50].

Q. E. F.

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