Descríbase un semicírculo ΑΖD en ΑD; tràcese al semicírculo una paralela ΖΗ a ΑC, tal que $$\frac{{\mathrm{ZH}}^2}{\mathrm{DH}\cdot \mathrm{HA}}=\frac{\mathrm{AG}}{2\mathrm{AD}}.$$

Sea un semicírculo ΑΒG sobre el diámetro ΑG y la razón dada $\frac{\mathrm{EZ}}{\mathrm{ZH}}$, y hágase lo que se propone. Pongamos ΖC = ΕΖ; bisequemos CΗ en un punto Κ; tracemos al semicírculo cualquier recta GΒ que forme el ángulo ΑGΒ; tracemos una perpendicular LS desde el centro L a esta recta, prolonguémosla para que corte a la circunferencia en un punto Ν; tracemos una paralela ΝΜ a GΒ por Ν; así será tangente al círculo. Hagámoslo de manera que $$\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QN}}=\frac{\mathrm{ZC}}{\mathrm{CK}};$$ tracemos las rectas de unión LQ y LΟ que intersecan el semicírculo en los puntos P y R, y tracemos una recta de unión PRD. Por lo tanto, como QΝ = ΝΟ, ya que ΝL es común y perpendicular, entonces LΟ = LQ; como también LP = LR; por lo que PΟ = RQ. La recta PRD es, por tanto, paralela a la ΜΟ. Por otra parte, $$\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{NQ}}=\frac{\mathrm{ZC}}{\mathrm{CK}};$$ o $$\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{QO}}=\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{CH}};$$ a intervalos iguales, $$\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QO}}=\frac{\mathrm{CZ}}{\mathrm{CH}}.$$ Por inversión, $$\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{HC}}{\mathrm{CZ}};$$ por composición, $$\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{MQ}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DR}}=\frac{\mathrm{HZ}}{\mathrm{ZC}}=\frac{\mathrm{HZ}}{\mathrm{ZE}};$$ sin embargo, $$\frac{\mathrm{PD}\cdot \mathrm{DR}}{{\mathrm{DR}}^2}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DR}},$$ y $\mathrm{PD}\cdot \mathrm{DR}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DG}$; por tanto $$\frac{\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DG}}{{\mathrm{DR}}^2}=\frac{\mathrm{HZ}}{\mathrm{ZE}}.$$ Por inversión, $$\frac{{\mathrm{DR}}^2}{▭\mathrm{DR}}=\frac{\mathrm{EZ}}{\mathrm{ZH}}.$$