Descríbase un semicírculo ΑΖD en ΑD; tràcese al semicírculo una paralela ΖΗ a ΑC, tal que \[\mathrm{\frac{ZH^2}{DH\cdot HA}=\frac{AG}{2AD}}.\]

Sea un semicírculo ΑΒG sobre el diámetro ΑG y la razón dada \(\mathrm{\frac{EZ}{ZH}}\), y hágase lo que se propone. Pongamos ΖC = ΕΖ; bisequemos CΗ en un punto Κ; tracemos al semicírculo cualquier recta GΒ que forme el ángulo ΑGΒ; tracemos una perpendicular LS desde el centro L a esta recta, prolonguémosla para que corte a la circunferencia en un punto Ν; tracemos una paralela ΝΜ a GΒ por Ν; así será tangente al círculo. Hagámoslo de manera que \[\mathrm{\frac{MQ}{QN}=\frac{ZC}{CK}};\] tracemos las rectas de unión LQ y LΟ que intersecan el semicírculo en los puntos P y R, y tracemos una recta de unión PRD. Por lo tanto, como QΝ = ΝΟ, ya que ΝL es común y perpendicular, entonces LΟ = LQ; como también LP = LR; por lo que PΟ = RQ. La recta PRD es, por tanto, paralela a la ΜΟ. Por otra parte, \[\mathrm{\frac{MQ}{NQ}=\frac{ZC}{CK}};\] o \[\mathrm{\frac{NQ}{QO}=\frac{CK}{CH}};\] a intervalos iguales, \[\mathrm{\frac{MQ}{QO}=\frac{CZ}{CH}}.\] Por inversión, \[\mathrm{\frac{OQ}{QM}=\frac{HC}{CZ}};\] por composición, \[\mathrm{\frac{OM}{MQ}=\frac{PD}{DR}=\frac{HZ}{ZC}=\frac{HZ}{ZE}};\] sin embargo, \[\mathrm{\frac{PD\cdot DR}{DR^2}=\frac{PD}{DR}},\] y \(\mathrm{PD\cdot DR=AD\cdot DG}\); por tanto \[\mathrm{\frac{AD\cdot DG}{DR^2}=\frac{HZ}{ZE}}.\] Por inversión, \[\mathrm{\frac{DR^2}{▭ DR}=\frac{EZ}{ZH}}.\]