Si una tangente a una de las hipérbolas opuestas encuentra al diámetro y por el punto de contacto se traza ordenadamente a este una recta y por el vértice de la otra sección una paralela a esta ordenada que encuentra a la recta de unión del punto de contacto y el centro y desde un punto de la sección se traza al diámetro una paralela a la tangente y otra a la ordenada del punto de contacto, el triángulo formado por estas dos últimas rectas y el diámetro difiere del que la recta trazada ordenadamente separa a partir del centro de la curva, en el que, construido sobre la recta que pasa por el centro, es semejante al triángulo separado.

Sean las hipérbolas opuestas AZ y BE de diámetro AB y centro G Paso 1, y tracemos desde un punto Z de la hipérbola ZA una tangente ZH a la sección, y una ordenada ZO Paso 2, y tracemos la recta de unión GZ y prolonguémosla como GE Paso 3, y desde B tracemos una paralela BL a ZO Paso 4, y tomemos un punto N sobre la hipérbola BE, y desde N tracemos una ordenada NQ, y tracemos una paralela NK a ZH Paso 5.

Digo que △QKN+△GBL=△GMQ.

Tracemos por E la tangente ED a la hipérbola BE Paso 6, y tracemos la ordenada EC Paso 7. Ya que AZ y BE son hipérbolas opuestas cuyo diámetro es AB, y ZGE es una recta que pasa por el centro, y ZH y ED son tangentes a la sección, por tanto DE es paralela a ZH. Y NK es paralela a ZH, así NK también es paralela a ED, y MQ a BL. Ya que BE es una hipérbola cuyo diámetro es AB de centro G, y DE es tangente a la sección, y EC es una ordenada, y BL es paralela a EC, y N es de la sección desde el que se traza NQ como ordenada, y KN es paralela a DE, entonces △ NQK+△ BGL=△ QMG [ Prop. I.43].

Q. E. D.

Ir a Comentario de Eutocio