Si una u otra de las superficies cónicas opuestas por el vértice se corta por un plano paralelo al de la circunferencia que recorre la recta que describe la superficie, el plano interceptado por ésta será un círculo con el centro en el eje y la figura limitada por el círculo y la superficie cónica, separada por el plano secante, del lado del vértice, será un cono.

Sea una superficie cónica de vértice A y BG la circunferencia que recorre la recta para describirla Paso 1, y cortémosla por un plano cualquiera paralelo al del círculo BG, tenemos como intersección la línea DE Paso 2.

Digo que es una circunferencia de centro en el eje de la superficie.

Tomemos el punto Z como centro del círculo BG, y tracemos la recta de unión AZ Paso 3. Así AZ es el eje [Def. I.1] y corta al plano secante. Sea H dicho punto y tracemos un plano por AZ. Entonces la sección será un triángulo ABG [Prop. I.3] Paso 4. Por estar los puntos D, H y E en el plano secante, y en el plano del triángulo ABG, DHE es una recta [Euclides:Prop. XI.3].

Tomemos en la línea DE un punto Q, tracemos la recta de unión AQ y prolonguémosla Paso 5. Entonces corta a la circunferencia BG [Prop. I.1] . Sea K dicho punto, y HQ y ZK rectas de unión Paso 6. Y ya que DE y BG dos planos paralelos son cortados por un plano ABG, [Euclides:Prop. XI.16] sus secciones comunes son paralelas. Así DE es paralela a BG. Entonces por la misma razón HQ es paralela a KZ. Así \(\rm \dfrac{ZA}{AH}=\dfrac{ZB}{DH}\) y \(\rm \dfrac{ZG}{HE}=\dfrac{ZK}{HQ}\) [Euclides:Prop. VI.4].

Ya que BZ=KZ=ZG [Euclides:Prop. V.9] DH=HQ=HE.

Del mismo modo se demostraría la igualdad de todas las rectas trazadas desde H a la línea DE.

Así la línea DE es una circunferencia de centro H.

Y es evidente que la figura limitada por el círculo DE y la superficie cónica y cortada por este, del lado del punto A, es un cono.

Y también ha quedado probado que la intersección del plano secante y el del triángulo que pasa por el eje es un diámetro de ese círculo.

Q. E. D.

Comentario de Eutocio