Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra al segundo diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una paralela al otro diámetro, la razón de la paralela a una de las dos rectas comprendidas entre ella y el centro o entre ella a la tangente, es la misma que la compuesta por la del lado transverso al recto y la de la otra de las dos rectas a la paralela.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia AB, de diámetro BZG Paso 1 y de segundo diámetro DZE Paso 2 y tracemos una tangente QLA Paso 3 y una paralela AH a BG Paso 4.

Digo que \(\rm \dfrac{AH}{ZH} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{QH}{HA}\) y \(\rm \dfrac{AH}{QH} = \dfrac{rectum}{transversum}\cdot \dfrac{ZH}{HA}\).

Pongamos \(\rm QH\cdot HZ = HA\cdot K\) Paso 5. Ya que \(\rm \dfrac{QH\cdot HZ}{HA^2} = \dfrac{rectum}{transversum}\) [Prop. I.38], entonces \(\rm \dfrac{HA\cdot K}{HA^2} = \dfrac{K}{HA} = \dfrac{rectum}{transversum}\). Como \(\rm \dfrac{QH}{HA} = \dfrac{K}{HZ}\), y \(\rm \dfrac{HA}{HZ} = \dfrac{HA}{K}\cdot\dfrac{K}{HZ}\), entonces \(\rm \dfrac{HA}{HZ} = \dfrac{transversum}{rectum}\cdot\dfrac{QH}{HA}\).

Q. E. D.