Si una tangente a una hipérbola, a una elipse o a una circunferencia encuentra al segundo diámetro y desde el punto de contacto se traza a este una paralela al otro diámetro, la razón de la paralela a una de las dos rectas comprendidas entre ella y el centro o entre ella a la tangente, es la misma que la compuesta por la del lado transverso al recto y la de la otra de las dos rectas a la paralela.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia AB, de diámetro BZG Paso 1 y de segundo diámetro DZE Paso 2 y tracemos una tangente QLA Paso 3 y una paralela AH a BG Paso 4.

Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{Z}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{Q}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$.

Pongamos $\mathrm{Q}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{Z}=\mathrm{H}\mathrm{A}\cdot \mathrm{K}$ Paso 5. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{Z}}{\mathrm{H}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}$ [Prop. I.38], entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{A}\cdot \mathrm{K}}{\mathrm{H}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}$. Como ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{H}\mathrm{Z}}}$, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{A}}{\mathrm{H}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{A}}{\mathrm{K}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{H}\mathrm{Z}}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{A}}{\mathrm{H}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{A}}}$.

Q. E. D.