Proposición 33

Si desde un punto de la parábola se traza de una manera ordenada una recta sobre el diámetro y se toma una igual a la que esta última determina en el diámetro en la dirección de este y a partir del vértice, la recta de unión del punto así obtenido con el que se tomó en la parábola será tangente a esta.

Sea una parábola de diámetro AB, de vértice E , y tracemos GD como ordenada y sea AE=ED, y tracemos la recta de unión AG .

Digo que la prolongación de AG caerá en el exterior de la sección.

Supongamos que GZ cayese en el interior , y tracemos HB como ordenada . Ya que $B H > Z B$ , entonces $\frac{B H^{2}}{G B^{2}} > \frac{Z B^{2}}{G D^{2}}$ . Como, por semejanza de triángulos, $\frac{B A^{2}}{A D^{2}} = \frac{Z B^{2}}{G D^{2}}$ , y $\frac{B E}{D E} = \frac{H B^{2}}{G D^{2}}$ [Prop. I.20], entonces $\frac{B E}{D E} > \frac{B A^{2}}{A D^{2}}$ .

Ya que $\frac{B E}{D E} = \frac{4 B E \cdot E A}{4 D E \cdot E A}$ , entonces $\frac{4 B E \cdot E A}{4 D E \cdot E A} > \frac{B A^{2}}{D^{2}}$ , de donde $\frac{4 B E \cdot E A}{B A^{2}} > \frac{4 D E \cdot E A}{A D^{2}}$ .

Por otra parte, $A E = D E = \frac{1}{2} A D$ , de donde $4 D E \cdot E A = 4 D E^{2} = A D^{2}$ , luego $\frac{4 B E \cdot E A}{B A^{2}} > 1$ . Por tanto $4 B E \cdot E A > B^{2}$ , lo que es absurdo, ya que $4 B E \cdot E A + (B E - E A)^{2} = B E^{2} + E A^{2} + 2 B E \cdot E A = (B E + E A)^{2} = B A^{2}$ , de donde $4 B E \cdot E A < B A^{2}$ . Así E no es el punto medio de AB y AG no cae en el interior de la sección, así es tangente.

Q. E. D.