Si desde un punto de la parábola se traza de una manera ordenada una recta sobre el diámetro y se toma una igual a la que esta última determina en el diámetro en la dirección de este y a partir del vértice, la recta de unión del punto así obtenido con el que se tomó en la parábola será tangente a esta.

Sea una parábola de diámetro AB, de vértice E Paso 1, y tracemos GD como ordenada Paso 2 y sea AE=ED, y tracemos la recta de unión AG Paso 3.

Digo que la prolongación de AG caerá en el exterior de la sección.

Supongamos que GZ cayese en el interior Paso 4, y tracemos HB como ordenada Paso 5. Ya que \(\rm BH > ZB\), entonces \(\rm\dfrac{BH^2}{GB^2} > \dfrac{ZB^2}{GD^2}\). Como, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{BA^2}{AD^2} = \dfrac{ZB^2}{GD^2}\), y \(\rm\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{HB^2}{GD^2}\) [Prop. I.20], entonces \(\rm\dfrac{BE}{DE} > \dfrac{BA^2}{AD^2}\).

Ya que\(\rm\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{4BE\cdot EA}{4DE\cdot EA}\), entonces \(\rm\dfrac{4BE\cdot EA}{4DE\cdot EA} > \dfrac{BA^2}{D^2}\), de donde \(\rm\dfrac{4BE\cdot EA}{BA^2} > \dfrac{4DE\cdot EA}{AD^2}\).

Por otra parte, \(\rm AE=DE=\frac{1}{2}AD\), de donde \(\rm 4DE\cdot EA=4DE^2=AD^2\), luego \(\rm\dfrac{4BE\cdot EA}{BA^2} > 1\). Por tanto \(\rm 4BE\cdot EA > B^2\), lo que es absurdo, ya que \(\rm 4BE\cdot EA+(BE-EA)^2=BE^2+EA^2+2BE\cdot EA=(BE+EA)^2=BA^2\), de donde \(\rm 4BE\cdot EA < BA^2\). Así E no es el punto medio de AB y AG no cae en el interior de la sección, así es tangente.

Q. E. D.