Si
una tangente a la parábola encuentra a un diámetro, y desde el punto de contacto se traza a este una recta de una manera ordenada y desde un punto de la curva dos paralelas: una a la tangente y otra a la recta trazada desde el de contacto, el triángulo formado por estas dos últimas rectas y el diámetro equivale al paralelogramo cuyos lados son: la recta trazada desde el punto de contacto y la que separa la paralela a ella a partir del vértice de la curva.
Sea una parábola de diámetro AB
y tracemos una tangente AC a la sección
y una ordenada CH
y por otro punto cualquiera D tracemos una ordenada DF
y una paralela DE a AC ,
y por B una paralela BG a HC .
Digo que △DEF=▱GF.
Ya que AC es tangente a la sección, y CH es una ordenada, AB=BH [Prop. I.35], así AH=2BH. Así △ AHC=▱ BC [Euclides:Prop. I.41].
Ya que \(\rm \dfrac{HB}{BF} = \dfrac{CH^2}{DF^2}\) [Prop. I.20], pero
\(\rm \dfrac{△ACH}{△EDF} = \dfrac{CH^2}{DF^2}\) [Euclides:Cor. Prop. VI.20] y
\(\rm \dfrac{▱GH}{▱GF} = \dfrac{HB}{BF}\) [Euclides:Prop. VI.1], así
\(\rm \dfrac{▱GH}{▱GF} = \dfrac{△ACH}{△EDF}\).
Así alternativamente \(\rm \dfrac{△EDF}{▱GF} = \dfrac{△ACH}{▱GH}\).
Pero △ACH=▱GH, así △EDF=▱GF.
Q. E. D.
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