Si una tangente a la parábola encuentra a un diámetro, y desde el punto de contacto se traza a este una recta de una manera ordenada y desde un punto de la curva dos paralelas: una a la tangente y otra a la recta trazada desde el de contacto, el triángulo formado por estas dos últimas rectas y el diámetro equivale al paralelogramo cuyos lados son: la recta trazada desde el punto de contacto y la que separa la paralela a ella a partir del vértice de la curva.

Sea una parábola de diámetro AB Paso 1 y tracemos una tangente AC a la sección Paso 2 y una ordenada CH Paso 3 y por otro punto cualquiera D tracemos una ordenada DF Paso 4 y una paralela DE a AC Paso 5, y por B una paralela BG a HC Paso 6.

Digo que △DEF=▱GF.

Ya que AC es tangente a la sección, y CH es una ordenada, AB=BH [Prop. I.35], así AH=2BH. Así △ AHC=▱ BC [Euclides:Prop. I.41].

Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{F}}^2}}$ [Prop. I.20], pero ${\displaystyle \frac{△\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{H}}{△\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{F}}^2}}$ [Euclides:Cor. Prop. VI.20] y ${\displaystyle \frac{▱\mathrm{G}\mathrm{H}}{▱\mathrm{G}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{F}}}$ [Euclides:Prop. VI.1], así ${\displaystyle \frac{▱\mathrm{G}\mathrm{H}}{▱\mathrm{G}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{△\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{H}}{△\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}}}$.

Así alternativamente ${\displaystyle \frac{△\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}}{▱\mathrm{G}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{△\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{H}}{▱\mathrm{G}\mathrm{H}}}$.

Pero △ACH=▱GH, así △EDF=▱GF.

Q. E. D.

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