Esta proposición tiene 11 casos, sólo uno, si tomamos el punto D por debajo del punto G, ya que es obvio que las paralelas también caerán por debajo de las rectas ΑG y GC.

Aquí están los otros 10 casos.

Si se toma el punto D más allá de G, la paralela DΖ caerá evidentemente más allá de GC, mientras que DΕ caerá o bien entre Α y Β, o bien en Β, o bien entre Β y C, o bien en C, o bien más allá de C; es imposible que caiga más allá de Α, ya que el punto D está más allá de G, y así evidentemente también la paralela a ΑG trazada por D.

Si se toma el punto D en el otro lado de la sección, o bien las dos paralelas se situarán entre los dos extremos C y Β, o bien DΖ estará por debajo de C y Ε irá a C, o bien, permaneciendo la recta DΖ en la misma posición, Ε irá más allá de C ; si, igualmente, Ε cae más allá de C, o bien el punto Ζ caerá sobre C, por lo que laa dos paralelas DZ y GC estarán confundidas, o caerá más allá de C. Para la demostración de los últimos 5 casos, es necesario extender la recta DΖ hasta la sección y hasta la paralela ΗG, antes de proceder a la demostración.

Es posible imaginar otra figura diferente a estas, cuando, incluso si no tomamos un punto diferente, las rectas del principio producen lo que se dice, pero esto es un teorema más que un caso.