Describamos, sobre AE, un semicírculo ΑΕΖ, y que, en el semicírculo, tracemos una paralela ΖΗ a ΑD, de modo que \[\mathrm{\frac{ZH^2}{AH\cdot HE}=\frac{GA}{2AE}}.\]

Sea un semicírculo ΑΒG y, en este semicírculo, una recta ΑΒ; coloquemos dos rectas desiguales DΕ y ΕΖ; prolonguemos ΕΖ hasta un punto Η; tomemos ΖΗ = DΕ; bisequemos la recta entera ΕΗ en un punto Q; tomemos el centro Κ del círculo; y, desde el centro, tracemos una perpendicular a ΑΒ que se encuentra con la circunferencia en un punto L ; tracemos una paralela LΜ a ΑΒ desde L; prolonguemos la recta ΚΑ que se encuentra con LΜ en un punto Μ; de manera que \[\mathrm{\frac{LM}{MN}=\frac{QZ}{ZH}};\] sea LQ= LΝ; tracemos las rectas de unión ΝΚ y ΚC y prolonguémoslas; completemos el círculo y que corte a estas rectas en los puntos P y Ο, y tracemos la recta unión ΟRP.

Por lo tanto, como \[\mathrm{\frac{LM}{MN}=\frac{ZQ}{ZH}},\] por composición, \[\mathrm{\frac{LN}{MN}=\frac{QH}{ZH}};\] por inversión, \[\mathrm{\frac{MN}{NL}=\frac{ZH}{HQ}},\] y \[\mathrm{\frac{MN}{NC}=\frac{ZH}{HE}};\] por división, \[\mathrm{\frac{MN}{MQ}=\frac{ZH}{ZE}}.\] Como ΝL = LC, LΚ es común y perpendicular, entonces ΚΝ = ΚC [Euclides:Prop. I.4]; ahora bien KO = ΚP; ΝC es por tanto paralela a ΟP. Por tanto, el triángulo ΚΜΝ es semejante al triángulo ΟΚR y el triángulo ΚΜC es semejante al triángulo PRΚ [Euclides:Prop. I.29 y Euclides:Prop. I.15]. Por lo tanto, \[\mathrm{\frac{MN}{RO}=\frac{KM}{KR}};\] sin embargo, según [Euclides:Prop. VI.4], \[\mathrm{\frac{MC}{PR}=\frac{KM}{KR}};\] por tanto, \[\mathrm{\frac{MC}{PR}=\frac{NM}{RO}}.\] Por permutación, \[\mathrm{\frac{OR}{RP}=\frac{NM}{MC}};\] ahora bien \[\mathrm{\frac{HZ}{ZE}=\frac{DE}{EZ}=\frac{NM}{MC}},\] y \[\mathrm{\frac{OR^2}{OR\cdot RP}=\frac{PR}{RP}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{OR^2}{OR\cdot RP}=\frac{DE}{EZ}};\] ahora bien \(\mathrm{OR\cdot RP=AR\cdot RG}\) [Euclides:Prop. III.35]; por lo tanto \[\mathrm{\frac{OR^2}{AR\cdot RG}=\frac{DE}{EZ}}.\]