Sea \[\mathrm{\frac{QZ}{ZA}=\frac{BG^2}{BA\cdot AG}}.\] Este es un enunciado muy claro, pero tal vez se quiera refrescar la memoria. Sean \(\mathrm{OP\cdot PR=BA\cdot AG}\); \(\mathrm{BG^2=PR\cdot PS}\), y \[\mathrm{\frac{AZ}{ZQ}=\frac{OP}{PS}};\] entonces tenemos la solución del problema buscado.

En efecto, dado que \[\mathrm{\frac{AZ}{ZQ}=\frac{OP}{PS}},\] por inversión, \[\mathrm{\frac{QZ}{ZA}=\frac{SP}{PO}}.\] Ahora \[\mathrm{\frac{BG^2}{BA\cdot AG}=\frac{SP\cdot PR}{PO\cdot PR}=\frac{SP}{PO}}.\] Esta observación será útil para las dos proposiciones siguientes.

Pero, según [Euclides:Prop. VI.23], \[\mathrm{\frac{BG^2}{BA\cdot AG}=\frac{BG}{GA}\cdot\frac{BG}{BA}}.\]

Como este punto ha sido expuesto por los comentaristas de forma más inductiva que convincente, hemos realizado algunas investigaciones al respecto registradas en nuestro comentario a la proposición II.4 del tratado ¨Sobre la esfera y el cilindro¨ de Arquímedes, así como en los escolios del libro I de la ¨Sintaxis¨ de Ptolomeo. Pero nos parece prudente tratarlos también aquí, porque los lectores no siempre tienen a su disposición estas obras y el tratado de las Cónicas hace un uso casi constante de ellas.

Se dice que una razón está compuesta de razones cuando los tamaños de las razones multiplicados entre sí producen algún tamaño, entendiendo por "tamaño", por supuesto, el número que da nombre a la razón. En primer lugar, en el caso de los múltiplos el tamaño puede ser un número entero, mientras que en el caso de las demás razones es necesario que el tamaño sea un número más una parte o partes de ese número, a no ser que se quiera que la razón sea irracional, como lo son las de las magnitudes inconmensurables. Pero, en todas las razones, es evidente que el producto del tamaño por el consecuente de la razón da el antecedente.

Sea \(\mathrm{\frac{A}{B}}\); tómese al azar un número G, como la media de Α y Β; sea \(\mathrm{D=\frac{A}{G}}\) y \(\mathrm{E=\frac{G}{B}}\); sea \(\mathrm{D\cdot E=Z}\). Digo que \(\mathrm{Z=\frac{A}{B}}\), es decir, \(\mathrm{Z\cdot B=A}\).

Sea \(\mathrm{Z\cdot B=H}\). Por lo tanto, como \(\mathrm{D\cdot E=Z}\) y, \(\mathrm{D\cdot G=A}\), entonces \(\mathrm{\frac{Z}{A}=\frac{E}{G}}\). Del mismo modo, como \(\mathrm{B\cdot E=G}\) y, \(\mathrm{B\cdot Z=H}\), entonces \(\mathrm{\frac{G}{H}=\frac{E}{Z}}\). Por permutación, \(\mathrm{\frac{Z}{H}=\frac{E}{G}}\); sin embargo, como hemos visto, \(\mathrm{\frac{Z}{A}=\frac{E}{G}}\); por tanto, H = Α, de modo que \(\mathrm{Z\cdot B=A}\).

El lector no debe confundirse por el hecho de que la demostración se haya realizado por medios aritméticos. Los antiguos, de hecho, usaban demostraciones de este tipo, aunque eran más aritméticas que matemáticas, porque es una cuestión de proporciones y lo que se busca es aritmético. En efecto, los cocientes, los valores de los cocientes y las multiplicaciones se encuentran primero en los números, y luego, a través de los números, en las magnitudes, según el interloculor. Como alguien dijo alguna vez: "estas ciencias parecen ser hermanas".

Q. E. D.