Levántese en ΑΒ un plano que forme un ángulo recto con el plano considerado, y descríbase en este plano una circunferencia ΑΕΒΖ en torno a la recta ΑΒ, tal que la razón del segmento de diámetro de la circunferencia, que se encuentra en el segmento de la circunferencia ΑΕΒ, al segmento de diámetro que se encuentra en la circunferencia ΑΖΒ, no sea mayor que \(\mathrm{\frac{AB}{NG}}\).

Sean dos rectas ΑΒ y ΒG, y descríbase una circunferencia alrededor de ΑΒ, tal que su diámetro sea intersecado por ΑΒ de forma que la relación entre la parte de ese diámetro situada en el lado de G y la otra parte no sea mayor que \(\mathrm{\frac{AB}{NG}}\).

Supongamos primero que tiene la misma razón; que ΑΒ se corta en dos partes iguales en un punto D; que a través de este punto se traza una recta ΕDΖ en perpendicular a ΑΒ; que \[\mathrm{\frac{ED}{DZ}=\frac{AB}{BG}},\] y que ΕΖ se corta en dos partes iguales ; por lo que es evidente que, si ΑΒ = ΒG y ΕD = DΖ, el punto D será el medio de ΕΖ, que, si ΑΒ > ΒG y ΕD > DΖ, el medio estará por debajo de D, y que, si ΑΒ < ΒG, estará por encima de D.

Supongamos ahora que se encuntre debajo, como el punto Η; que, de centro Η y radio ΗΖ, se describa una circunferencia; entonces debe pasar por ya sea a través de Α y Β, o por debajo, o por encima.

Si pasa por los puntos Α y Β, el problema está resuelto. Que pase más allá de Α y Β; que la prolongación de ΑΒ a cada lado se encuentre con la circunferencia en los puntos C y Κ; que las rectas de unión ΖC, CΕ, ΕΚ, y ΚΖ sean trazadas; que se trace por Β una paralela ΜΒ a ΖΚ y una paralela ΒL a ΚΕ, y que se tracen las rectas de unión ΜΑ y ΑL ; estas rectas también serán entonces paralelas a las rectas ΖC y CΕ, en virtud de que ΑD = DΒ, DC = DΚ, y ΖDΕ es perpendicular a CΚ.

Como el ángulo en Κ es recto y las rectas ΜΒ y ΒL son paralelas a las rectas ΖΚ y ΚΕ, el ángulo en Β también es recto; por las mismas razones, el ángulo en Α también es recto, de modo que la circunferencia descrita alrededor de la recta ΜL pasará por Α y Β; descríbase como la circunferencia ΜΑLΒ.

Dado que ΜΒ es paralela a ΖΚ, \[\mathrm{\frac{KD}{DB}=\frac{ZD}{DM}};\] de forma similar también, \[\mathrm{\frac{ED}{DL}=\frac{KD}{DB}};\] por tanto\[\mathrm{\frac{ED}{DL}=\frac{ZD}{DM}};\] por permutación, \[\mathrm{\frac{LD}{DM}=\frac{ED}{DZ}=\frac{AB}{BG}}.\]

La demostración será idéntica si el círculo descrito alrededor de la línea ΖΕ se cruza con ΑΒ.