\(\mathrm{BK\cdot KA=AL\cdot LB}\); por tanto KA = ΒL.

Como \(\mathrm{BK\cdot KA=AL\cdot LB}\), proporcionalmente, \[\mathrm{\frac{LB}{AK}=\frac{KB}{AL}};\] por otro lado, por permutación, \[\mathrm{\frac{LA}{AK}=\frac{KB}{BL}};\] por otro lado, por composición, \[\mathrm{\frac{LK}{KA}=\frac{KL}{LB}};\] por tanto ΚΑ = ΒL.

Nótese que en [Prop. I.15] y [Prop. I.16] el propósito del autor era buscar lo que se llama los diámetros segundo y conjugado de la elipse, la hipérbola o las hipérbolas opuestas (la parábola no tiene tales diámetros). También hay que tener en cuenta que estos diámetros en la elipse se cortan en el interior, mientras que los de la hipérbola y las hipérbolas opuestas se cortan en el exterior. Por otra parte, al dibujar las rectas a las que se aplica el área equivalente al cuadrado, es decir, los lados rectos, deben colocarse perpendicularmente, obviamente, así como las rectas paralelas a ellas, pero no siempre las rectas trazadas de forma ordenada y los segundos diámetros; es sobre todo en ángulo agudo como deben trazarse, para que sea obvio para el lector que son diferentes de las paralelas al lado recto.

Después de [Prop. I.16], da definiciones relativas a lo que se llama el segundo diámetro de la elipse y la hipérbola, definiciones que aclararemos con una figura.

Sea una hipérbola ΑΒ, de diámetro GΒD, y sea una recta ΒΕ a la que se aplica el área equivalente al cuadrado de las rectas abatidas sobre el diámetro ΒG. Por lo tanto, es obvio que ΒG crecerá indefinidamente con el aumento de la sección, como se muestra en [Prop. I.8], y que ΒD, que subtiende el ángulo exterior del triángulo axial, es finito. Bisecaremos esta recta en el punto Z; entonces, desde Α, abatiremos una recta ΑΗ de forma ordenada; luego, a través de Z, trazaremos QZΚ paralela a ΑΗ y haremos que QZ = ZΚ así como \(\mathrm{QK^2=DB\cdot BE}\). La recta QΚ que obtenemos será el segundo diámetro. Esta construcción es posible porque QΚ es exterior a la y se extiende hasta el infinito, y es posible restar de una recta infinita una recta igual a una recta dada. Llama centro al punto Z, radios a la recta ZΒ y a las rectas trazadas de forma similar desde Z hasta la sección. Hasta aquí la hipérbola y las hipérbolas opuestas.

Por otro lado, es evidente que cada uno de los diámetros es finito, el primero por la generación de la sección, el segundo, porque es la media proporcional de dos rectas finitas, que son el primer diámetro y la recta a la que se aplica el área equivalente al cuadrado de las rectas abatidas de forma ordenada sobre el primer diámetro. En el caso de la elipse, el texto se aclara de la siguiente manera. Como la elipse es cerrada, al igual que el círculo, también intercepta todos los diámetros en el interior y los hace limitados, por lo que, en el caso de la elipse, la media proporcional entre los lados de la figura, que pasa por el centro de la sección y es bisecada por el diámetro está siempre limitada por la sección; es posible calcularla precisamente por lo que se dice en [Prop. I.15].

En efecto, dado que, en virtud de la demostración, el cuadrado de las rectas abatidas sobre DΕ de forma ordenada y paralelas a ΑΒ es igual al área aplicado a su tercera proporcional, es decir, a ZD, entonces \[\mathrm{\frac{AB}{DZ}=\frac{DE}{AB}},\] por lo que ΑΒ es media proporcional de las rectas ΕD y DZ. En virtud de lo cual, el cuadrado de las rectas abatidas sobre ΑΒ y paralelas a DΕ también serán iguales a las áreas aplicadas a la tercera proporcional de las rectas DΕ y ΑΒ, es decir, a ΑΝ. Por esta razón, DΕ, el segundo diámetro, es la media proporcional de los lados ΒΑ y ΑΝ de la figura.

También necesitamos saber algo que sea útil para dibujar las figuras. Como los diámetros ΑΒ y DΕ son desiguales - son iguales sólo en el caso del círculo - es obvio que la recta perpendicular al diámetro pequeño, como en este caso la recta DZ, es, ya que es la tercera proporcional de las rectas DΕ y ΑΒ, mayor que que cualquiera de las dos rectas, mientras que la recta perpendicular al diámetro grande, como en este caso la recta ΑΝ, es, ya que es la la tercera proporcional de las rectas ΑΒ y DΕ, menor que cualquiera de ellas [Euclides:Prop. V.14]; de modo que las cuatro rectas están también en proporción continua, ya que \[\mathrm{\frac{DE}{AB}=\frac{AB}{DZ}=\frac{AN}{DE}}.\]