Una hipérbola no es semejante a una elipse.

Consideremos la hipérbola ΑΒ Paso 1 y la elipse CD Paso 2. Supongamos que sus ejes son ΑΚ y CΜ Paso 3, y que sus diámetros transversos son ΑΕ y CL Paso 4. Entonces, si estas dos secciones son semejantes, entonces hay en las secciones algunas perpendiculares, por ejemplo ΒΝ, HO, FP y DQ Paso 5, de manera que las razones de estas perpendiculares a los segmentos que cortan de los ejes en ambas secciones son respectivamente iguales. Por tanto se tiene \(\rm \dfrac{HK}{AK} = \dfrac{DM}{CM}\), \(\rm \dfrac{AK}{AG} = \dfrac{CM}{CI}\) y \(\rm \dfrac{AG}{BG} = \dfrac{CI}{FI}\), de donde \(\rm \dfrac{HK}{BG} = \dfrac{DM}{FI}\), luego \(\rm \dfrac{HK^2}{BG^2} = \dfrac{DM^2}{FI^2}\). Pero, \(\rm \dfrac{EK\cdot KA}{EG\cdot GA} = \dfrac{HK^2}{BG^2}\), \(\rm \dfrac{CM\cdot ML}{CI\cdot IL} = \dfrac{DM^2}{IF^2}\) [Prop. I.21]; por lo tanto, \(\rm \dfrac{EK\cdot KA}{EG\cdot GA} = \dfrac{CM\cdot ML}{CI\cdot IL}\). Pero, por hipótesis, \(\rm \dfrac{KA}{AG} = \dfrac{MC}{CI}\); así que, \(\rm \dfrac{KE}{EG} = \dfrac{ML}{LI}\), lo cual es absurdo. La sección AB no es por lo tanto semejante a la sección CD.

Q. E. D.