Cada
parábola es semejante a cada parábola.
Sean dos parábolas ΑΒ y CD de ejes ΑΚ y CP .
Digo que las dos secciones son semejantes.
Sean sus lados rectos ΑQ y CR , y que \(\rm \dfrac{ΑΚ}{ΑQ} = \dfrac{CP}{CR}\).
Cortemos ΑΚ en dos puntos arbitrarios F y H , y cortemos CP en el
el mismo número de segmentos con la misma proporción en los puntos Μ y O . Tracemos a
los ejes ΑΚ y CP las perpendiculares FΕ, HG, ΚΒ, ΜL, ΝO, y DP y prolonguémoslas
hasta que corten de nuevo a las secciones en Ι, S, Τ, Υ, U, y Χ . Luego \(\rm \dfrac{QA}{AK} = \dfrac{CR}{CP}\),
y ΚΒ es la media proporcional entre ΑQ y ΑΚ, y
PD es la media proporcional entre CR y CP, [Prop. I.11].
Así como \(\rm \dfrac{KB}{KA} = \dfrac{DP}{PC}\). Y ΒΤ = 2ΒΚ, y DΧ = 2DP.
Por lo tanto, \(\rm \dfrac{BT}{ΑK} = \dfrac{DX}{CP}\).
Además \(\rm \dfrac{QA}{AK} = \dfrac{CR}{CP}\). Y \(\rm \dfrac{ΑΚ}{ΑH} = \dfrac{PC}{CO}\),
y así \(\rm \dfrac{ΑQ}{ΑH} = \dfrac{CR}{CO}\).
Por lo tanto, se demostrará, como hemos probado anteriormente, que \(\rm \dfrac{GS}{ΑH} = \dfrac{NU}{CO}\).
Y de manera análoga también se demostrará que \(\rm \dfrac{EI}{FA} = \dfrac{LY}{MC}\).
Por lo tanto, la proporción de cada uno de ΒΤ, GS y ΕΙ, que son perpendiculares
al eje, a las cantidades ΑΚ, ΑH, y ΑF que cortan del eje es
igual a la proporción de DΧ, ΝU y LΥ, que son perpendiculares al eje, a
las cantidades PC, OC, y ΜC que cortaron del eje.
Y las proporciones de los segmentos cortados de uno de los ejes a los segmentos
separados del otro son iguales. Por lo tanto, la sección ΑΒ es semejante a
la sección CD.
Q. E. D.