Si en la elipse, las perpendiculares trazadas al eje a uno y otro lado de la sección, los segmentos cortados a ambos lados del eje, aplicado uno sobre el otro, serán congruentes. Por otro lado, si estos arcos se depositan en segmentos cortados a la misma distancia del centro por las perpendiculares, coincidirán con ellos, y no será congruente con ningún otro segmento de la sección.

Sea una elipse ABCD Paso 1 cuyos ejes son las rectas AB, KL Paso 2, y tracemos dos perpendiculares al eje AB tales como CE, DF que cortan a la sección en ambos lados Paso 3. Tracemos, además, otras dos perpendiculares, como MO, NH, situadas en la sección a las mismas distancias del centro que las primeras Paso 4. Por lo tanto, si el arco CD se superpone al arco EF Paso 5, serán congruentes, conforme a lo que se demostró en la proposición inmediatamente anterior, y se establecerá, de la misma manera, que el arco MN será congruente con el arco OH Paso 6. Ahora, el área KAL, aplicada sobre el área KBL, coincidirá con ella [Prop. VI.4]; la recta CE caerá sobre la recta NH, porque la distancia de cada una de estas rectas al centro es la misma, y la recta DF también caerá sobre la recta MO; por lo tanto, el arco CD caerá sobre el arco MN, y, en consecuencia, el arco CD será congruente con el arco OH, porque los arcos MN, OH son congruentes. Lo mismo es obvio para el arco EF. Por otra parte, si tomamos, en la sección, un arco distinto de los cuatro anteriores, como PQ Paso 7; digo que este arco no será congruente con los arcos que acabamos de decir. En efecto, que coincida, si es posible, con el arco MN. Por lo tanto, según lo demostrado en las proposiciones anteriores, tendríamos una elipse con más de dos ejes. Sin embargo, esto es absurdo [Prop. II.48]; por lo tanto, el arco MN no será congruente con el arco PQ.

Q. E. D.