Sean ahora las secciones hiperbolas o elipses, y todas las construcciones sean las mismas que en el teorema anterior y prolonguemos los diámetros CΕ y ΜO hasta los centros Ι y U de las secciones Paso 1. Hagamos \(\rm \dfrac{CE}{CF} = \dfrac{OM}{MP}\), y \(\widehat{\rm AFC} = \widehat{\rm ΚPΜ}\) Paso 2, entonces digo que los segmentos \(\overparen{\rm DCΒ}\) y \(\overparen{\rm LΜΝ}\) son semejantes Paso 3.

Hagamos que \(\rm \dfrac{SC}{2CF} = \dfrac{HC}{CG}\), y \(\rm \dfrac{TM}{2MO} = \dfrac{QM}{MR}\) Paso 4. Entonces CS y ΤΜ son los lados rectos correspondientes a los diámetros CΕ y ΜO respectivamente [Prop. I.50]. Por lo tanto, tracemos desde Α, Κ, C y Μ las perpendiculares ΑG, ΚR, CΥ, y ΜΧ a los ejes Paso 5. Entonces, ya que las dos secciones son semejantes, las figuras características correspondientes a sus ejes también son semejantes, \(\rm \dfrac{2AI}{lado recto_{AI}} = \dfrac{2KU}{lado recto_{KU}}\) [Prop. VI.12], y ya que las figuras características de estas dos secciones correspondientes a sus ejes son semejantes, \(\rm \dfrac{ΙY\cdot YF}{CY^2} = \dfrac{2AI}{lado recto_{AI}}\) y \(\rm \dfrac{UΧ\cdot XP}{ΜΧ^2} = \dfrac{2KU}{lado recto_{KU}}\) [Prop. I.37], de donde \(\rm \dfrac{ΙY\cdot YF}{CY^2} = \dfrac{UΧ\cdot XP}{ΜΧ^2}\). Por otro lado, es claro que \(\rm \dfrac{ΙΥ\cdot YF}{CΥ^2} = \dfrac{UΧ\cdot XP}{ΜΧ^2}\). Por lo tanto el triángulo CΥΙ es semejante al triángulo ΜUΧ. Entonces \(\widehat{\rm FCΙ} = \widehat{\rm YCΙ}-\widehat{\rm YCF} = \widehat{\rm XMU} - \widehat{\rm XMP} = \widehat{\rm UΜP}\). Por otra parte, \(\widehat{\rm YCΙ} = \widehat{\rm XMU}\), luego \(\widehat{\rm AGΙ} = \widehat{\rm KRU}\), de donde \(\widehat{\rm CGH} = \widehat{\rm MRQ}\), luego los triángulos HCG y QMR son semejantes. Por tanto \(\rm \dfrac{HC}{CG} = \dfrac{QM}{MR}\). Pero \(\rm \dfrac{CS}{2CF} = \dfrac{CH}{CG}\) y \(\rm \dfrac{TM}{2MP} = \dfrac{QM}{MR}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{CS}{CF} = \dfrac{MT}{MP}\). Ya que, los triángulos FCI y PMU son semejantes, entonces \(\rm \dfrac{CF}{CI} = \dfrac{PM}{MU}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{CS}{CI} = \dfrac{MT}{MU}\) y así \(\rm \dfrac{CS}{CV} = \dfrac{CS}{2CI} = \dfrac{TM}{2MU} = \dfrac{MT}{MZ}\). Por lo tanto, la figura característica de una que está delimitada por SC y CV y de la otra que está delimitada por TM y MZ son semejantes. Además \(\rm \dfrac{CS}{FC} = \dfrac{MT}{MZ}\), y \(\rm \dfrac{CF}{CE} = \dfrac{MP}{MO}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{CS}{CE} = \dfrac{MT}{MO}\). Ya que este es el caso y como la figura característica delimitada por SC y CV es semejante a la figura característica delimitada por TM y MO, entonces, si ahora cortamos la recta CΕ de manera arbitaria y trazamos por los puntos de corte rectas paralelas a la base DΒ del segmento DΑΒ, y dividimos el diámetro ΜO en la misma proporción en que se ha dividido la recta CΕ, y se trazan, por los puntos de división, rectas paralelas a LΝ que es la base del segmento LΜΝ, entonces se prueba como en [Prop. VI.12], que las rectas paralelas que cortan a CΕ son a las porciones cortadas a partir del vértice como las rectas paralelas que cortan ΜO son a las porciones cortadas a partir del vértice M. Y los ángulos formados por la base DΒ y CΕ son iguales a los ángulos formados por la base LΝ y ΜO, porque estos ángulos son iguales a los ángulos de C y Μ formados por la tangente y el diámetro. Por lo tanto, los segmentos \(\overparen{\rm DCB}\) y \(\overparen{\rm NML}\) son semejantes, y están semejantemente dispuestos.

Por otra parte, si el segmento \(\overparen{\rm DCB}\) es semejante al segmento \(\overparen{\rm NML}\), entonces digo que \(\widehat{\rm CFΑ} = \widehat{\rm ΜPΚ}\), y que \(\rm \dfrac{CE}{CF} = \dfrac{OM}{MP}\).

Supongamos pues que los dos segmentos son semejantes, tracemos en ellos algunas rectas paralelas a DΒ y ΝL en igual número, cortando CΕ y ΜO en ángulos iguales. Las razones respectivas entre estas rectas y así como las razones de la las bases DΒ y LΝ a las porciones cortadas de los diámetros son iguales, y también las razones de las partes cortadas sobre el diámetro CΕ y las razones de las partes cortadas sobre el diámetro ΜO son iguales entre sí [Def. VI.7]. Además, los cuadrados de las rectas trazadas a CE en el segmento \(\overparen{\rm DCB}\), paralelas a la recta DB, son iguales a los rectángulos aplicados al lado recto CS, aumentados (en el caso de las hipérbolas) o disminuidos(en el caso de las elipses) en rectángulos semejantes al rectángulo delimitado por las rectas SC y CV [Prop. I.50]. Y también las rectas trazadas a ΜO en el segmento \(\overparen{\rm NML}\) paralelas a LΝ son iguales en cuadrado a los rectángulos aplicados al lado recto ΤΜ, aumentados (en el caso de las hipérbolas) o disminuidos(en el caso de las elipses) en rectángulos semejantes al rectángulo delimitado por las rectas TM y MZ [Prop. I.50]. Por lo tanto, ya que eso es así, \(\rm \dfrac{CS}{VC} = \dfrac{MT}{MZ}\) [Prop. VI.12]. Ya que, por hipótesis, la rectas trazadas de manera ordenada cortan a los diámetros EV y OZ en ángulos iguales, las secciones son semejantes y por tanto las figuras caractetísticas correspondientes a sus ejes transversos son semejantes, esto es, \(\rm \dfrac{2AI}{ladorecto_{AI}} = \dfrac{2KT}{ladorectp_{KT}}\), luego \(\rm \dfrac{IY\cdot YF}{CY^2} = \dfrac{2AI}{ladorecto_{AI}}\) y \(\rm \dfrac{UX\cdot XP}{MX^2} = \dfrac{2KT}{ladorectp_{KT}}\), de donde \(\rm \dfrac{IY\cdot YF}{CY^2} = \dfrac{UX\cdot XP}{MX^2}\). Como los ángulos de Υ y Χ son rectos, y \(\widehat{\rm FCΙ} = \widehat{\rm PΜU}\), entonces el triángulo ΙCF es semejante al triángulo UΜP. Esto es general para el caso de la hipérbola, mientras que para la elipse, los ejes AI, KU deben ser ambos ejes mayores o menores. La semejanza de las secciones implica la semejanza de las figuras características, luego \(\rm \dfrac{CS}{CV} = \dfrac{MT}{MZ}\). Ya que \(\rm \dfrac{DE^2}{CE\cdot EV} = \dfrac{CS}{CV}\) y \(\rm \dfrac{NO^2}{MO\cdot OZ} = \dfrac{MT}{MZ}\) [Prop. I.21], entonces \(\rm \dfrac{DE^2}{CE\cdot EV} = \dfrac{NO^2}{MO\cdot OZ}\). Ya que, por la semejanza de las secciones, \(\rm \dfrac{DE}{EC} = \dfrac{NO}{MO}\), entonces \(\rm \dfrac{DE^2}{EC^2} = \dfrac{NO^2}{MO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CE\cdot EV}{EC^2} = \dfrac{MO\cdot OZ}{MO^2}\), y \(\rm \dfrac{VE}{EC} = \dfrac{OZO}{MO}\), de donde \(\rm \dfrac{VC}{EC} = \dfrac{VE\mp EC}{EC} = \dfrac{OZ\mp MO}{MO} = \dfrac{MZ}{MO}\). Pero \(\rm \dfrac{IC}{CF} = \dfrac{UM}{MP}\) debido a la semejanza de la triángulos ΙCF y UΜP. Y CV = 2CΙ, y MZ = 2ΜU. Por lo tanto, así \(\rm \dfrac{CV}{CF} = \dfrac{MZ}{MP}\), de donde \(\rm \dfrac{EC}{CF} = \dfrac{MO}{MP}\). Y los ángulos en F y P son iguales.

Q. E. D.