Si un cono es cortado por dos planos paralelos que cortan a los dos lados del triángulo que pasa por su eje, y que no son paralelos ni antiparalelos a la base del cono, entonces las elipses generadas son semejantes, pero desiguales.

Cortemos al cono ΑΒC Paso 1 por dos planos paralelos, y sean HM y KN las intersecciones de estos planos con el plano de la base del cono Paso 2. Tracemos desde el centro de la base del cono una recta ΒCGL perpendicular a las rectas HΜ y ΚΝ Paso 3, y cortemos al cono con otro plano que pasa por esta recta y por el eje del cono Paso 4. Finalmente, sean las rectas FEG y DPL las intersecciones de este plano con los dos planos paralelos Paso 5. Digo que las secciones FRΕ y DXP son semejantes pero no iguales Paso 6.

Tracemos desde el vértice del cono A la recta ΑQ paralela a las rectas FG y DL Paso 7. Entonces \(\rm \dfrac{PD}{DO} = \dfrac{EF}{FI}\), ya que \(\rm \dfrac{PD}{DO} = \dfrac{AQ^2}{BQ\cdot QC}\) y \(\rm \dfrac{EF}{FI} = \dfrac{AQ^2}{BQ\cdot QC}\) [Prop. I.13] Paso 8. Ya que la recta ΒCL es perpendicular a la recta ΚΝ, las rectas trazadas de manera ordenada a DP en la elipse DXP serán paralelas a la recta KN y sus cuadrados son iguales a los rectángulos aplicados al lado recto DO disminuidos por rectángulos semejantes al rectángulo delimitado por OD y DP [Prop. I.12]. De igual manera las rectas trazadas de manera ordenada a FE en la elipse FRΕ serán paralelas a la recta HΜ y sus cuadrados son iguales a los rectángulos aplicados al lado recto FΙ disminuidos por rectángulos semejantes al rectángulo delimitado por EF y FI. Ya que el ángulo ΚLD es igual al ángulo HGF porque las rectas ΚL y LD son paralelas respectivamente a las rectas HG y GF, entonces las figuras características son semejantes. Por tanto, las dos secciones son semejantes [Prop. VI.12], de manera que las secciones DXP y FRΕ son semejantes. Pero son desiguales porque \(\rm EF\cdot FI > PD\cdot DO\) [Prop. VI.2], y por consiguiente las dos secciones son desiguales.

Q. E. D.