Una
parábola no es semejante ni a una hipérbola ni a una elipse.
Consideremos la parábola ΑΒ de eje ΑG , y la hipérbola o la elipse
CD semejante a ella. Y que el eje de CD sea la recta CL , y que el
lado de la figura de la sección construida sobre el eje transverso, sea CΜ .
Que sean las perpendiculares ΒΙ y FΝ en las secciones en la parábola ,
y DO y ΚP en la hipérbola o en la elipse , y que las razones de estas
perpendiculares a los segmentos que cortan de los ejes en una de las
las secciones sean iguales a sus razones a los segmentos que cortan del eje de
otra sección, y que las razones de los segmentos cortados de uno de los ejes
a los segmentos cortados del otro eje sean iguales, es decir,
\(\rm \dfrac{FG}{GA}=\dfrac{KL}{LC}\), \(\rm \dfrac{GA}{AE}=\dfrac{LC}{CH}\) y \(\rm \dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CH}{HD}\),
de donde \(\rm \dfrac{FG}{EB}=\dfrac{KL}{HD}\), de modo que \(\rm \dfrac{FG^2}{EB^2}=\dfrac{KL^2}{HD^2}\). Pero,
\(\rm \dfrac{FG^2}{EB^2}=\dfrac{GA}{AE}\) [Prop. I.20], mientras que \(\rm \dfrac{GA}{AE}=\dfrac{LC}{CH}\), por lo tanto,
\(\rm \dfrac{FG^2}{BE^2}=\dfrac{LC}{CH}\), así \(\rm \dfrac{KL^2}{HD^2} = \dfrac{LC}{CH}\).
Como, \(\rm \dfrac{KL^2}{DH^2}= \dfrac{ΜL\cdot LC}{MH\cdot HC}\) [Prop. I.21], entonces \(\rm \dfrac{LC}{CH}
= \dfrac{ΜL\cdot LC}{MH\cdot HC}\), de donde ML=MH, lo que es absurdo.
Por lo tanto, la parábola no puede ser semejante ni a la hipérbola ni a la elipse.
Q. E. D.