Es
evidente que una elipse no puede ser igual a las otras dos
secciones cónicas porque es limitada y estas últimas se extienden al infinito.
Digo también que una parábola no puede ser igual a una hipérbola.
Sean la parábola ΑΒC y la hipérbola GΙΚΝ . Entonces,
supongamos que sean iguales, y que los ejes de las secciones sean ΒF y ΚΜ ,
y sea KH el eje transverso de la hipérbola , y sean ΒΕ = KL y ΒF = ΚΜ .
Tracemos las perpendiculares ΑΕ, DF, IL, y GM a los ejes .
Ahora la sección encaja en la sección porque es igual a ella, y
por lo tanto Ε, F, Α y D coinciden con L, Μ, Ι y G respectivamente, y como
\(\rm \dfrac{FΒ}{ΕΒ} = \dfrac{DF^2}{ΑΕ^2}\) [Prop. I.20].
Por lo tanto \(\rm \dfrac{ΜΚ}{ΚL} = \dfrac{ΜG^2}{LΙ^2}\). Pero eso es imposible porque
\(\rm \dfrac{MG^2}{IL^2} = \dfrac{HM\cdot MK}{HL\cdot LK}\) [Prop. I.21].
Por lo tanto la parábola no es igual a la hipérbola.
Q. E. D.