Si
dos parábolas tienen los lados rectos iguales, estas secciones son iguales; y si estas secciones son iguales, sus lados rectos también lo son.
Sean dos parábolas de ejes ΑD y FH y de iguales lados rectos ΑΕ y FΜ .
Digo que estas secciones son iguales.
Cuando aplicamos el eje ΑD al eje FH, entonces la sección
coincidirá con la sección para que quepa en ella, ya que si no cabe en ella, habrá
una parte de la sección ΑΒ que no cabe en la sección FG. Tomamos el punto
Β en la parte que no coincide con FG , y desde donde trazamos la perpendicular ΒΚ al eje , y completemos el rectángulo ΚΕ .
Hacemos FL = ΑΚ , y tracemos desde L la perpendicular LG al eje que lo corta
en G , y completemos el rectángulo LΜ . Luego ΚΑ = LF y ΑΕ = FΜ.
Por lo tanto ▭ΚΕ = ▭LΜ. Y \(\rm ΚΒ^2 = KA·AE = ▭ΚΕ\) [Prop. I.11].
Y de manera similar \(\rm LG^2 = LF·FM = ▭LM\). Por lo tanto ΚΒ = LG.
Por lo tanto, cuando el eje de una sección se aplica al eje de la
otra, ΑΚ coincidirá con FL, y ΚΒ coincidirá con LG, y Β coincidirá
con G. Pero se suponía que no debía caer en la sección FG, lo cual es imposible.
Por lo tanto, es imposible que la sección ΑΒ no sea igual a la sección
FG.
Supongamos ahora, que la sección ΑΒ es igual a la sección FG, y
tomemos ΑΚ = FL, y tracemos las perpendiculares al eje desde Κ y L ,
y completemos los rectángulos ΕΚ y ΜL, entonces la sección ΑΒ coincidirá
con la sección FG, y por lo tanto el eje ΑΚ coincidirá con el eje FL pues
si no coinciden, la parábola FG tendría dos ejes, lo cual es imposible.
Por lo tanto, coincidirá con ella. Entonces Κ coincidirá con L porque ΑΚ es
igual a FL, y Β coincidirá con G. Por lo tanto ΒΚ = LG,
y por lo tanto se tiene \(\rm BK^2=AK·AE\), y \(\rm LG^2=
FL·FM\) [Prop. I.11], de donde, ya que BK=LG, tenemos que AK·AE=FL·FM.
Por lo tanto, ya que AK=FL, tenemos que AE=FM.
Q. E. D.