En cónicas desemejantes, ningún segmento de una puede ser semejante a un segmento de la otra.

Sean AB y CD dos hipérbolas o dos elipses desemejantes Paso 1. Digo que ningún segmento de ΑΒ es semejante a un segmento de CD.

En efecto, supongamos que los segmentos \(\overparen{\rm BE}\), \(\overparen{\rm DF}\) Paso 2 son semejantes. Tracemos las rectas de unión BE, DF Paso 3, y dividámoslas en dos partes iguales en los puntos G, H Paso 4. Tracemos, desde los centros K, L de las secciones Paso 5, las rectas GMK, HNL que serán diámetros de las secciones [Prop. I.47] Paso 6.

Estos diámetros pueden o no ser los ejes de las secciones.

Si lo son y si los segmentos \(\overparen{\rm BE}\), \(\overparen{\rm DF}\) son semejantes, las perpendiculares trazadas a estos ejes serán paralelas a las rectas EB, DF, y las razones de las perpendiculares a las rectas cortadas en el eje, desde el vértice, en una de las secciones, serán las mismas que las razones de las perpendiculares a las rectas cortadas en el eje en la otra sección; mientras que que la razón de las rectas cortadas en un eje a las rectas cortadas en el otro eje también será la misma. Pero, ya que estas paralelas son perpendiculares a los ejes de las secciones, las secciones mismas serán por lo tanto semejantes; lo cual es absurdo, ya que hemos supuesto que son desemejantes.

Si los diámetros GΜΚ y HΝL no son los ejes, entonces sean ΑΚ y CL los ejes de las secciones Paso 7, y tracemos desde los puntos M, N, las rectas MQ y NR perpendiculares a los ejes Paso 8, y tracemos, desde estos mismos puntos, las tangentes MS y NO Paso 9. Entonces es claro que los triángulos MSK y NOL, cuyas rectas MQ y NR son perpendiculares, son semejantes [Prop. VI.18], por consiguiente \(\rm \dfrac{KQ\cdot QS}{MQ^2} = \dfrac{LR\cdot RO}{NR^2}\) Pero \(\rm \dfrac{KQ\cdot QS}{MQ^2} = \dfrac{2AK}{ladorecto_{AK}}\) [Prop. I.37] y \(\rm \dfrac{LR\cdot RO}{NR^2} = \dfrac{2CL}{ladorecto_{CL}}\). Luego, \(\rm \dfrac{2AK}{ladorecto_{AK}} = \dfrac{2CL}{ladorecto_{CL}}\). Por lo tanto, las figuras características de las secciones ΑΒ y CD son semejantes y por tanto las secciones son semejantes [Prop. VI.12]. En consecuencia, las secciones ΑΒ y CD son semejantes, pero nosotros hemos supuesto que eran desemejantes, lo que es imposible. Por lo tanto el segmento \(\overparen{\rm BE}\) no es semejante al segmento \(\overparen{\rm DF}\).

Q. E. D.