Si las figuras de las hipérbolas o elipses correspondientes a diámetros distintos de los ejes son semejantes y si las rectas que se trazan de manera ordenada sobre estos diámetros forman ángulos iguales con ellos, estas secciones serán semejantes entre sí.

Sean F, I, los centros de dos hipérbolas o dos elipses Paso 1, y las rectas CL, EM diámetros cualesquiera Paso 2. Que los ángulos formados por estos diámetros con las rectas trazadas a ellos de manera ordenada sean iguales entre sí y que las figuras construidas correspondientes a los diámetros CL y EM son semejantes. Digo que estas secciones son semejantes.

En efecto, tracemos desde los puntos C, E, rectas CH, EP tangentes a las secciones Paso 3, que por lo tanto serán paralelas a las rectas trazadas de de manera ordenada sobre los diámetros en cuestión; de modo que los ángulos formado en los puntos C, E con los diámetros CL, EM serán iguales. Sean además las rectas AB, DK los ejes de las secciones , que cortan a las tangentes en los puntos H, P Paso 4; el ángulo HCF será por lo tanto igual al ángulo PEI, porque las tangentes son paralelas a las rectas trazadas de forma ordenada. Tracemos en los puntos A, D perpendiculares a la ejes, es decir, las rectas AG, DX, que cortan a los diámetros CL, EM en los puntos G y X Paso 5; circunscribamos círculos a los triángulos FAG, IAX Paso 6, y tracemos por los vértices A, D, las rectas AVT, DZY paralelas a las tangentes CH, EP Paso 7. Por lo tanto, ya que las figuras construidas sobre las rectas CL, EM son semejantes, entonces \(\rm \dfrac{CL}{lado recto_{CL}} = \dfrac{EM}{lado recto_{EM}}\). Ya que las rectas AG, DX son tangentes a las secciones, y las rectas AV, DZ son trazadas de manera ordenada sobre los diámetros CL, EM, \(\rm \dfrac{FV\cdot VG}{AV^2} = \dfrac{CL}{lado recto_{CL}}\) y \(\rm \dfrac{IZ\cdot ZX}{DZ^2} = \dfrac{EM}{lado recto_{EM}}\) [Prop. I.27], de donde \(\rm \dfrac{FV\cdot VG}{AV^2} = \dfrac{IZ\cdot ZX}{DZ^2}\). Como, las secantes a los círculos trazadas desde los puntos V, Z dan FV∙VG = TV∙AV y IZ∙ZX = DZ∙ZY, entonces \(\rm \dfrac{TV\cdot AV}{AV^2} = \dfrac{DZ\cdot ZY}{DZ^2}\), o \(\rm \dfrac{TV}{AV} = \dfrac{ZY}{DZ}\). Completemos las figuras del texto designando los centros de los círculos como Q, R Paso 8, por S, U los centros de las cuerdas AT, DY Paso 9, y tracemos las rectas punteadas AQ, DR, QS, RU Paso 10. Por lo tanto, la relación \(\rm \dfrac{TV}{AV} = \dfrac{ZY}{DZ}\) da \(\rm \dfrac{TV-AV}{AV} = \dfrac{ZY-DZ}{DZ}\), o, \(\rm \dfrac{AT}{AV} = \dfrac{DY}{DZ}\),o, \(\rm \dfrac{AS}{AV} = \dfrac{DU}{DZ}\), de donde \(\rm \dfrac{AS+AV}{AV} = \dfrac{DU+DZ}{DZ}\), o, \(\rm \dfrac{SV}{AV} = \dfrac{UZ}{DZ}\). Como, los ángulos en V y Z son iguales, entonces los triángulos QSV y RUZ son semejantes, y dan \(\rm \dfrac{SV}{QV} = \dfrac{UZ}{RZ}\), por lo tanto, comparando con la relación anterior, se tiene \(\rm \dfrac{QV}{AV} = \dfrac{RZ}{DZ}\) de ahí la semejanza de los triángulos EQA, ZRD, de donde \(\widehat{\rm VQA}\), \(\widehat{\rm ZRD}\), por tanto la igualdad de las mitades de estos ángulos en la circunferencia, es decir, los ángulos en F y en I. Ya que los ángulos en V y Z son iguales por hipótesis, y venimos de demuestrar la igualdad de ángulos en F e I, los triángulos FCH, IEP son semejantes. Tracemos, desde los puntos C, E, rectas CN, EO perpendiculares a los ejes Paso 11, así \(\widehat{\rm CHN}=\widehat{\rm EPI}\), por lo tanto \(\widehat{\rm CHN}=\widehat{\rm EPO}\), de ahí la semejanza de los triángulos rectángulos CNH, EOP, por lo tanto: \(\rm \dfrac{NH}{CN}=\dfrac{OP}{EO}\). Ahora, la semejanza de los triángulos rectángulos que tienen ángulos iguales a F e I da: \(\rm \dfrac{FN}{CN}=\dfrac{IO}{EO}\), de donde, por producto, \(\rm \dfrac{FN\cdot NH}{CN^2} = \dfrac{IO\cdot OP}{EO^2}\). Pero, \(\rm \dfrac{FN\cdot NH}{CN^2} = \dfrac{AB}{lado recto_{AB}}\) y \(\rm \dfrac{IO\cdot OP}{EO^2} = \dfrac{DK}{lado recto_{DK}}\), de donde \(\rm \dfrac{AB}{lado recto_{AB}} = \dfrac{DK}{lado recto_{DK}}\); por lo tanto, las secciones son semejantes [Prop. VI.12].

Q. E. D.