Si
las figuras construidas sobre los ejes transversos de las hipérbolas o de las elipses [Def. VI.10]
son iguales y semejantes, entonces las secciones serán iguales, y si las secciones son
iguales, entonces las figuras construidas sobre sus ejes transversos son iguales y semejantes,
y su situación es similar.
Sean dos hipérbolas o elipses ΑΒ y CG de ejes ΑΚ y CH .
Supongamos que las figuras construidas sobre los ejes transversos sean iguales y semejantes, sean estas
DΕ y ΝL .
Digo que las secciones ΑΒ y CG son iguales.
Apliquemos el eje ΑΚ al eje CH, entonces la sección ΑΒ
coincide con la sección CG, ya que si no es así, una parte de la sección ΑΒ
no coincidirá con la sección CG, tomemos el punto Β en esa parte, y tracemos,
desde el, la perpendicular ΒΚ al eje , y completemos el rectángulo DF .
Cortemos, de CH, un segmento CH igual a ΑΚ, y tracemos desde H la perpendicular
HG a CH , y completemos el rectángulo ΝΜ . Luego ΑΕ = LC y ΑΚ = CH.
Por lo tanto, ▭ΕΚ = ▭LH.
Además, los rectángulos LΜ y ΕF son semejantes y análogamente
situados porque son semejantes a los rectángulos DΕ y ΝL respectivamente,
y ΑΚ = CH. Por lo tanto ▭ΕF = ▭LΜ. Pero ▭ΕΚ = ▭LH,
por lo tanto ▭ΑF = ▭CΜ, y BK2=AK∙KF=▭AF, y GH2= CH∙HM=▭CM
[Prop. I.12,Prop. I.13].
Por lo tanto, cuando el eje se aplica en el eje, ΒΚ = HG,
y Β coincidirá con G. Pero se suponía que caería en la sección CG, lo que
es imposible. Por lo tanto, toda la sección ΑΒ encaja en la sección CG.
Sean ahora dos secciones iguales, y hacemos ΑΚ = CH,
y tracemos las perpendiculares ΚΒ y HG, y completemos los rectángulos
DΕ, DF, ΝL, y ΝΜ, entonces la sección ΑΒ encajará en la sección CG,
y el eje ΑΚ coincidirá con el eje CH, pues si no coincidiera con él,
entonces la hipérbola tendría dos ejes y la elipse tres ejes, lo cual es imposible.
Por lo tanto ΑΚ coincide con CH, y es igual a ella. Así que Κ coincidirá
con H, y ΚΒ coincidirá con HG, y por lo tanto Β coincidirá con G, y ΚΒ
encajará en GH, por lo tanto ΚΒ es igual a GH.
Sin embargo KB2=AK∙KF, y HG2=CH∙HM [Prop. I.12,Prop. I.13].
Pero, KB=HG, así que AK∙KF=CH∙HM. Pero AK=CH; por lo tanto KF=HM.
Además, si hacemos que ΑO = CQ , entonces OT = QS [Prop. I.12,Prop. I.13] ;
así, ya que, AK=CH y KF=HM, o también AO-AK=CQ-CH, y QT-KF=OS-HM, o RT=PS, y RF = MP , de donde RT∙RF=PS∙MP.
Por lo tanto los rectángulos FΤ y ΜS son iguales y semejantes.
Por lo tanto el cuadrilátero DΕ es semejante al cuadrilátero ΝL, y también el
cuadrilátero DF es semejante al cuadrilátero ΝΜ. Pero ΚF = HΜ. Por lo tanto
DΚ = ΝH. Pero se asumió que ΑΚ = CH. Por lo tanto DΑ = ΝC y el cuadrilátero DΕ es semejante al cuadrilátero ΝL. Por lo tanto ΑΕ
= CL, y ▭DΕ = ▭ΝL. Y estas son
las figuras construidas sobre los ejes.
Del mismo modo, si las secciones son parábolas; si las rectas trazadas de manera ordenada cortan, en cada sección, a cualquier diámetro en ángulos iguales, y si los lados rectos relativos a estos diámetros son iguales, las secciones también serán iguales. Y, si las secciones son hipérbolas o elipses; si las rectas trazadas de manera ordenada cortan a diámetros en ángulos iguales, y si los lados rectos relativos a estos diámetros son iguales, las secciones también serán iguales. Esto se establecerá, como acabamos de demostrar en el caso de los ejes.
Q. E. D.