Si se trazan rectas perpendiculares al eje de una elipse, los segmentos cortados a ambos lados del eje por dos perpendiculares cualesquiera son semejantes e iguales entre sí y semejantes a los segmentos cortados por un par de perpendiculares trazadas al otro lado del centro y a igual distancia del centro. Además están semejantemente dispuestas, y ningún otro segmento en esa elipse es semejante a estos.

Sea AL eje de una elipse Paso 1, y supongamos que el par de rectas ΒH y CΚ son perpendiculares al eje Paso 2, y que, al otro lado del centro, otro par de rectas FΙ y GP son perpendiculares al eje, a la misma distancia del centro Paso 3. Digo que los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\), \(\overparen{\rm HK}\), \(\overparen{\rm FG}\), \(\overparen{\textrm{ IP}}\) son semejantes Paso 4, y que ningún otro segmento es semejante a ellos.

Es evidente que los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\), \(\overparen{\rm HK}\), \(\overparen{\rm FG}\), \(\overparen{\textrm{ IP}}\) son semejantes y están semejantes dispuestos, porque son iguales ya que aplicado uno sobre el otro coincidirían [Prop. VI.8]. Por otro lado, se demostrará, de la siguiente manera, que ningún otro segmento es semejante a ellos. Supongamos que el segmento \(\overparen{\rm DE}\) Paso 5 es semejante a los anteriores segmentos. Tracemos las rectas de unión DΕ y CΒ, que prolongadas cortan al eje bajo ángulos iguales [Prop. VI.18] Paso 6. Por lo tanto DΕ y CΒ son paralelas, y, si se traza la recta MON que divide a estas paralelas en dos partes iguales en los puntos N y O, esta recta es un diámetro [Prop. II.28] Paso 7. Por lo tanto, si los segmentos \(\overparen{\textrm{DE}}\) y \(\overparen{\textrm{ΒC}}\) son semejantes, entonces \(\rm \dfrac{CB}{OM} =\dfrac{DE}{MN}\) [Def. VI.7]. Como esto es imposible, pues si fuera así las rectas de unión ΜΒ y ΜC prolongadas, pasarían por los puntos D y Ε. Por lo tanto, el segmento \(\overparen{\textrm{DE}}\) no es semejante al segmento \(\overparen{\textrm{ΒC}}\).

Q. E. D.