Cortar
un cono recto por
un plano de modo que la sección sea
una parábola igual a una dada.
Sea el cono recto cuya sección por el eje sea triángulo axial ΑΒC y ED la parábola dada de eje DL y lado recto DF .
Tomemos sobre el lado AB del triángulo ABC, y partir del vértice A, un segmento AG tal que
\(\rm\dfrac{DF}{AG} = \dfrac{CB^2}{BA\cdot AC}\) .
Tracemos la recta GH paralela a la recta ΑC . Finalmente cortemos el cono por un
plano que pasa por la recta GH y es perpendicular al plano ΑΒC , que genera la sección ΚGM cuyo eje es GH.
Digo que la sección ΚGM es igual a la sección DΕ.
Ya que los cuadrados de las perpendiculares trazadas en la sección ΚG a GH son iguales
a los rectángulos aplicados al lado recto correspondiente a este eje,
entonces \(\rm\dfrac{lado recto_{GH}}{GA} = \dfrac{BC^2}{AB\cdot AC}\) [Prop. I.11].
Pero \(\rm\dfrac{DF}{AG} = \dfrac{CB^2}{BA\cdot AC}\). Por lo tanto,
\(\rm\dfrac{lado recto_{DF}}{AG} = \dfrac{lado recto_{GH}}{GA}\), de donde \(\rm DF = lado recto_{GH}\) .
Por lo tanto, la sección DΕ es igual a la sección ΚG [Prop. VI.1].
Digo también que ninguna otra sección, aparte de esta, puede encontrarse en este
cono tal que su vértice se encuentre en la
recta ΑΒ y de tal manera que es igual a la sección DΕ.
En efecto, supongamos que fuera posible encontrar otra parábola igual a la
sección DE, entonces su plano cortaría en ángulo recto al triángulo que pasa
por el eje del cono, y el eje de esta sección estaría en el plano del
triángulo ABC, porque el cono es recto.
Pues es así para los ejes de todas las secciones en un cono recto.
Además, si fuera posible que otra sección, igual a la sección DE, tuviese su vértice en
la recta AB, su eje sería paralelo a la línea AC, y su vértice
sería un punto diferente del punto G;
mientras que su lado derecho sería a
la recta interceptada en la recta AB, entre esta sección y el vértice A
del cono, como el cuadrado de la línea recta BC es al rectángulo delimitado por
las rectas BA, AC. Pero \(\rm\dfrac{DF}{AG} = \dfrac{CB^2}{BA\cdot AC}\);
por lo tanto, el lado recto DF no es igual al lado recto
de esta otra sección que, por lo tanto, no es igual a la sección DE.
Hemos supuesto que estas secciones son iguales, lo cual es absurdo [Prop. VI.1].
En consecuencia, no se puede encontrar en ΑΒ el vértice del eje de otra
sección igual a la sección DΕ.
Q. E. D.