Si se trazan tangentes, a secciones semejantes, que cortan a sus ejes formando con ellos ángulos iguales, y se trazan por los puntos de contacto diámetros a las secciones, y sobre cada uno de ellos se toma unos puntos tales que las razones de los segmentos entre los puntos tomados y los vértices de esos diámetros a las tangentes son iguales y se trazan desde cada punto tomado rectas paralelas a las tangentes de modo que cortan segmentos de las secciones entonces esos segmentos son semejantes, y semejantemente posicionados. Por otra lado, si los segmentos son semejantes y están semejantemente posicionados, entonces las razones de sus diámetros a las tangentes correspondientes son iguales en cada sección, y los ángulos que las tangentes forman con los ejes son iguales.

Supongamos primero que las secciones semejantes son dos parábolas ΑΒ y ΚL Paso 1, donde los ejes son ΑF y ΚP Paso 2, y las tangentes a ellas son CF y ΜP Paso 3 que forman con los ejes ángulos iguales \(\widehat{\rm AFC}\) y \(\widehat{\rm MPK}\). Tracemos por C y Μ los diámetros CΕ y ΜO a las secciones Paso 4, de manera que \(\rm \dfrac{EC}{CF} = \dfrac{MO}{MP}\). Tracemos por Ε y O las rectas DΒ y ΝL paralelas a CF y ΜP Paso 5. Digo que los segmentos \(\overparen{\rm BCD}\) y \(\overparen{\rm LMN}\) son semejantes y semejantemente posicionados Paso 6.

Tracemos desde Α y Κ las perpendiculares ΑG y ΚR a los ejes cortando a FC y PΜ en H y Q Paso 7, y prolonguemos los diámetros ΕC y OΜ hasta reunirse con ellos en G y R Paso 8. Hagámoslo de manera que \(\rm \dfrac{SC}{2CF} = \dfrac{HC}{CG}\), y \(\rm \dfrac{TM}{2MP} = \dfrac{QM}{MR}\) Paso 9. Entonces SC y ΤΜ son los lados rectos relativos a los diámetros CΕ y ΜO respectivamente. Por lo tanto \(\rm DΕ^2 = SC\cdot CΕ\) [Prop. I.49]. Y del mismo modo \(\rm NO^2 = ΤΜ\cdot MO\). Y \(\widehat{\rm ΚPΜ} = \widehat{\rm ΑFC}\), \(\widehat{\rm ΚPΜ} = \widehat{\rm RMP}\), y \(\widehat{\rm AFC} = \widehat{\rm GCF}\) porque OR y EH son paralelas a PΚ y FΑ respectivamente [Prop. I.46]. Por lo tanto \(\widehat{\rm RMP} = \widehat{\rm GCF}\), y los ángulos de G y R son iguales, por lo tanto el triángulo HCG es semejante al triángulo RΜQ, y por lo tanto \(\rm \dfrac{HC}{CG} = \dfrac{QM}{MR}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{SC}{CF} = \dfrac{TM}{MP}\). Pero \(\rm \dfrac{CF}{CE} = \dfrac{MP}{MO}\) por lo tanto \(\rm \dfrac{SC}{CE} = \dfrac{TM}{MO}\). Por lo tanto utilizando el mismo razonamiento usado en [Prop. VI.11] establecemos que, si se trazan rectas a CΕ paralelas a la recta DΒ y se trazan rectas a ΜO paralelas a la recta LΝ, las razones de estas rectas que son paralelas a las bases DΒ y LΝ a los segmentos que interceptan sobre cada diámetro a partir de los vértices C y M son iguales, y las razones de los segmentos cortados de uno de los diámetros a los cortados del otro diámetro también son iguales, y los ángulos comprendidos por las rectas trazadas de manera ordenada paralelas a una y otra base y los diámetros en ambas secciones son iguales, ya que los ángulos en C y Μ son iguales, entonces el segmento \(\overparen{\rm BCD}\) es semejante al segmento \(\overparen{\rm LMN}\) [Def. VI.7], y semejantemente posicionado.

Por otra parte, supongamos, que el segmento \(\overparen{\rm DCB}\) de una sección es semejante al segmento \(\overparen{\rm LMN}\) de la otra sección, que sus diámetros sean CΕ y ΜO, y que las bases sean ΒD y LΝ, que los vértices sean los puntos C y Μ y que las rectas CF y MO sean tangentes a las secciones en estos puntos. Digo que \(\widehat{\rm AFC} = \widehat{\rm ΚPΜ}\), y \(\rm \dfrac{EC}{CF} = \dfrac{MO}{MP}\).

Además \(\rm \dfrac{DB}{EC} = \dfrac{NL}{OM}\), debido a la semejanza de los segmentos de las secciones, y por lo tanto \(\rm \dfrac{DE}{CE} = \dfrac{½AB}{EC} = \dfrac{½NL}{OM} =\dfrac{NO}{OM}\). Ya que \(\rm DE^2=EC\cdot SC\) y \(\rm NO^2=OM\cdot TM\) [Prop. I.11], entonces \(\rm \dfrac{SC}{DE} = \dfrac{DE}{EC}\), y \(\rm \dfrac{TM}{ON} = \dfrac{NO}{OM}\), de donde \(\rm \dfrac{SC}{DE} = \dfrac{TM}{NO}\) y por tanto \(\rm \dfrac{SC}{CE} = \dfrac{TM}{MO}\).

Ya que \(\rm \dfrac{SC}{2CF} = \dfrac{HC}{CG}\) y \(\rm \dfrac{TM}{2MP} = \dfrac{QM}{MR}\) [Prop. I.49], mientras que \(\rm \dfrac{HC}{CG} = \dfrac{QM}{MR}\) , por la semejanza de los triángulos CHG y QMR, entonces \(\rm \dfrac{SC}{CF} = \dfrac{TM}{MP}\), de donde \(\rm \dfrac{EC}{CF} = \dfrac{MO}{MP}\). Además \(\widehat{\rm AFC}\) = \(\widehat{\rm KPM}\), en virtud de lo ya demostrado.

Q. E. D.