Si se hacen las mismas construcciones en hipérbolas o en elipses semejantes, las cosas se presentarán como hemos demostrado que lo hacen para la parábola en la proposición anterior.

Hagamos las mismas construcciones que hicimos anteriormente en la parábola Paso 1; prolonguemos los diámetros CH, GY de los segmentos hasta los centros L, T Paso 2, y tracemos en los puntos C, G las rectas CI, GJ tangentes a las secciones Paso 3, que serán paralelas a las rectas DK, XW. Por otro lado, \(\rm \dfrac{AM}{AQ} = \dfrac{EU}{ER}\), \(\rm \dfrac{AO}{AQ} = \dfrac{EV}{ER}\). Por lo tanto, ya que las secciones son semejantes, sus figuras características también serán semejantes, y \(\rm \dfrac{AL}{AQ} = \dfrac{ET}{ER}\).

Ahora, supongamos que \(\rm \dfrac{AM}{AQ} = \dfrac{EU}{ER}\); por lo tanto, como se demuestra en [Prop. VI.12], si se trazan, en el segmento \(\overparen{\rm BAP}\), rectas paralelas a la recta BP, y, en el segmento \(\overparen{\rm FES}\), rectas paralelas a la recta FS, y si el número de estas paralelas es el mismo en cada segmento, las paralelas del segmento \(\overparen{\rm FES}\), así como su base FS, estarán en las partes del eje EU, que estas paralelas cortan desde el vértice E, en los mismas razones que las paralelas en el segmento \(\overparen{\rm BAP}\), así como su base BP, a las rectas cortadas en el eje AM desde del vértice A, y la razón de las rectas cortadas en el eje AM a las rectas cortadas en el eje AM será la misma. Como resultado, los segmentos \(\overparen{\rm BAP}\), \(\overparen{\rm FES}\) son semejantes [Def. VI.7].

Por hipótesis, ya que \(\rm \dfrac{AM}{AQ} = \dfrac{EU}{ER}\) y \(\rm \dfrac{AO}{AQ} = \dfrac{EV}{ER}\), luego \(\rm \dfrac{AO}{AM} = \dfrac{VE}{EU}\). Ya que las secciones son semejantes, también se tiene que \(\rm \dfrac{DO}{AO} = \dfrac{XV}{VE}\), de donde \(\rm \dfrac{DO}{MB} = \dfrac{XV}{UF}\). Por la semejanza de los triángulos DKO y BKM, se tiene que \(\rm \dfrac{DO}{MB} = \dfrac{OK}{KM}\) y por la semejanza de los triángulos XWV y FWU, se tiene que \(\rm \dfrac{XV}{UF} = \dfrac{VW}{WU}\). Por tanto \(\rm \dfrac{OK}{KM} = \dfrac{VW}{WU}\), de donde \(\rm \dfrac{OK}{OM} = \dfrac{OK}{OK-KM} = \dfrac{VW}{VW-WU} = \dfrac{VW}{VU}\). Ya que \(\rm \dfrac{AO}{AM} = \dfrac{VE}{EU}\), entonces \(\rm \dfrac{AO}{OM} = \dfrac{AO}{AO-AM} = \dfrac{VE}{VE-EU} = \dfrac{VE}{VU}\), de donde \(\rm \dfrac{OK}{AO} = \dfrac{VW}{VE}\), luego \(\rm \dfrac{OK}{DO} = \dfrac{VW}{XV}\). Ya que, los ángulos situados en los puntos E, V son rectos; entonces, los triángulos KDO y WXV son semejantes, y los ángulos situados en los puntos K, W son iguales.

Además, las rectas CI y GJ son tangentes, por lo tanto \(\rm \dfrac{LN\cdot NI}{CN^2} = \dfrac{2AL}{AQ}\) y \(\rm \dfrac{TZ\cdot ZJ}{GZ^2} = \dfrac{2ET}{ER}\) [Prop. I.38]. Ya que las figuras características de secciones semejantes son semejantes, entonces \(\rm \dfrac{2AL}{AQ} = \dfrac{2ET}{ER}\), de donde \(\rm \dfrac{LN\cdot NI}{CN^2} = \dfrac{TZ\cdot ZJ}{GZ^2}\). Pero, \(\rm \dfrac{CN}{NI} = \dfrac{GZ}{ZJ}\), porque los triangulos CNI y GZJ son semejantes, luego \(\rm \dfrac{CN^2}{NI^2} = \dfrac{GZ^2}{ZJ^2}\); por lo tanto \(\rm \dfrac{LN\cdot NI}{NI^2} = \dfrac{TZ\cdot ZJ}{ZJ^2}\), y como resultado \(\rm \dfrac{LN}{NI} = \dfrac{TZ}{ZJ}\) y por lo tanto \(\rm \dfrac{LN}{CN} = \dfrac{TZ}{GZ}\). Como los ángulos situados en los puntos N y Z son rectos y los triángulos CIN y GJZ son semejantes, entonces los ángulos situados en los puntos L y T y los ángulos situados en los puntos I y J son iguales. En consecuencia, los triángulos CIL y GJT son semejantes, y \(\rm \dfrac{IL}{CL} = \dfrac{JT}{TG}\). Además, ya que \(\rm \dfrac{IL}{CL} = \dfrac{IK}{CH}\) y \(\rm \dfrac{JT}{TG} = \dfrac{WJ}{GY}\), entonces \(\rm \dfrac{IK}{CH} = \dfrac{WJ}{GY}\). Mientras que, por la semejanza de las secciones, \(\rm \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{EU}{UF}\), y se tiene \(\rm \dfrac{MB}{MK} = \dfrac{UF}{UW}\); luego \(\rm \dfrac{AM}{MK} = \dfrac{EU}{UW}\); de donde \(\rm \dfrac{AM}{AK} = \dfrac{AM}{AM-MK} = \dfrac{EU}{EU-UW} = \dfrac{EU}{EW}\). Ya que, por la semejanza de las secciones, \(\rm \dfrac{2AL}{AQ} = \dfrac{2ET}{ER}\), entonces \(\rm \dfrac{AL}{AM} = \dfrac{ET}{EU}\), por consiguiente \(\rm \dfrac{AL}{AK} = \dfrac{ET}{EW}\). Entonces \(\rm \dfrac{AL}{LK} = \dfrac{AL}{AL\mp LK} = \dfrac{ET}{ET\mp EW} = \dfrac{ET}{TW}\). Como \(\rm LI\cdot LN = AL^2\) y \(\rm TJ\cdot ZT = ET^2\) [Prop. I.37], entonces \(\rm \dfrac{LN}{LI} = \dfrac{AL^2}{LI^2}\) y \(\rm \dfrac{ZT}{TJ} = \dfrac{ET^2}{TJ^2}\), luego \(\rm \dfrac{AL^2}{LI^2} = \dfrac{ET^2}{TJ^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AL}{LI} = \dfrac{ET}{TJ}\). Por tanto, \(\rm \dfrac{LI}{LK} = \dfrac{TJ}{TW}\), de donde \(\rm \dfrac{LI}{IK} = \dfrac{LI}{\pm LI \mp LK} = \dfrac{TJ}{\pm TJ \mp TW} = \dfrac{TJ}{JW}\). Pero \(\rm \dfrac{CI}{LI} = \dfrac{JG}{TJ}\), por la semejanza de los triángulos ILC y JTG, luego \(\rm \dfrac{CI}{IK} = \dfrac{JG}{JW}\), y así \(\rm \dfrac{CI}{CH} = \dfrac{JG}{GY}\). Como los ángulos situados en los puntos I y J son iguales, tenemos que Los segmentos \(\overparen{\rm BCD}\) y \(\overparen{\rm FGX}\) son semejantes y están semejantemente dispuestos [Prop. VI.18].

Por otro lado, si tomamos otro segmento, tal como \(\overparen{\rm F'X'}\) Paso 4, que no es interceptado por las anteriores rectas trazadas de manera ordenada, y que, en el caso de la elipse, no es interceptado por rectas trazadas de forma ordenada a igual distancia de las primeras, al otro lado del centro, digo que este segmento no es semejante al segmento \(\overparen{\rm BCD}\).

En efecto, supongamos que sea semejante a el. Por lo tanto, ya que el segmento \(\overparen{\rm BD}\) es semejante al segmento \(\overparen{\rm FX}\), el segmento \(\overparen{\rm F'X'}\) también será semejante al segmento FX. Como, no está interceptado por las mismas perpendiculares al eje, ni por perpendiculares situadas a la misma distancia del centro; por lo tanto, hemos supuesto algo absurdo [Prop. VI.19] y [Prop. VI.20]. Por lo tanto, el segmento \(\overparen{\rm F'X'}\) no puede ser semejante al segmento \(\overparen{\rm FX}\) ni, por lo tanto, al segmento \(\overparen{\rm BCD}\)