Demostradas estas cosas, falta demostrar que las secciones cónicas anteriores no tienen otros ejes.
Supongamos que KG es también otro eje . En virtud del razonamiento anterior, si trazamos una perpendicular AH, AH=HL [Def. I.4], y por tanto AK=KL .
Pero AK=KC, así KL=KC, y esto es imposible.
En el caso de la hipérbola, es evidente que la circunferencia AEC no corta a la sección en otro punto situado entre los puntos A, B y C.
En el caso de la elipse, tracemos perpendiculares CR y LS .
Ya que CK=KL, pues ellos son radios, \(\rm CK^2=KL^2\). Pero \(\rm CK^2=CR^2+RK^2\), y \(\rm KL^2=KS^2+SL^2\).
así CR2+RK2=KS2+SL2.
Así \(\rm CR^2+RK^2=KS^2+SL^2\), de donde \(\rm CR^2-SL^2=KS^2-RK^2\).
Por otra parte, \(\rm MR\cdot RN=(MK-RK)(NK+RK)=(MK-RK)(MK+RK)\)\(\rm=MK^2-RK^2\), de donde
\(\rm MR\cdot RN+RK^2=MK^2\), mientras que \(\rm MS\cdot SN=(MK-SK)(NK+SK)=(MK-SK)(MK+SK)\)\(\rm =MK^2-SK^2\),
de donde \(\rm MS\cdot SN+SK^2=MK^2\). Por tanto \(\rm MS\cdot SN+SK^2=MR\cdot RN+RK^2\),
luego \(\rm SK^2-RK^2=MR\cdot RN-MS\cdot SN\). Como \(\rm CR^2-SL^2=KS^2-RK^2\), entonces
\(\rm CR^2-SL^2=MR\cdot RN-MS\cdot SN\).
Ya que CR y LS
son ordenadas, \(\rm \dfrac{CR^2}{MR\cdot RN}=\dfrac{SL^2}{MS\cdot SN}=\dfrac{CR^2-SL^2}{MR\cdot RN-MS\cdot SN}\)
[Prop. I.21].
Así \(\rm CR^2=MR\cdot RN\), y \(\rm SL^2=MS\cdot SN\).
Por tanto la línea LCM es una circunferencia y esto es imposible pues hemos supuesto que es una elipse.
Q. E. D.