Si la paralela a la recta de contactos trazada por el punto de intersección de dos tangentes a las dos secciones encuentra a estas, las rectas que unen los puntos de encuentro con el medio de la de contacto son tangentes a las secciones.

Sean A y B las hipérbolas opuestas Paso 1, y tracemos tangentes CE y ED a A y B Paso 2, y tracemos la recta de unión CD Paso 3, y prolonguésmola, y desde E tracemos una paralela FEG a CD Paso 4 y sea CD bisecada en H Paso 5, y tracemos las rectas de unión FH y HG Paso 6.

Digo que FH y HG son tangentes a las hipérbolas.

Tracemos la recta de unión EH Paso 7, así EH es un diámetro recto, y una paralela a CD trazada desde el centro es un diámetro transverso conjugado a el [Prop. II.38]. Sea J el centro Paso 8, y tracemos una paralela AJB a CD Paso 9. Así HE y AB son diámetros conjugados. Y CH es una ordenada sobre el segundo diámetro, y CE es una tangente a la sección que corta al segundo diámetro. Así EJ∙JH=½(CD²) [Prop. I.38], es decir =¼(rectum∙AB). Ya que FE es una ordenada y FH una recta de unión, así FH es tangente a la hipérbola A [Prop. I.38]. Análogamente GH es tangente a la hipérbola B. Así FH y HG son tangentes a las hipérbolas A y B.

Q. E. D.