Si en unas hipérbolas opuestas trazamos una recta que corta a cada una de las rectas comprendidas en el ángulo adyacente al ángulo que comprende a la secciones, cortará a cada una de las hipérbolas opuestas en un único punto, y las rectas limitadas sobre ella por las hipérbolas del lado de las asíntotas serán iguales.

Sean las hipérbolas opuestas A y B Paso 1 de centro G Paso 2 y asíntotas DGH y EGZ [Prop. II.15]Paso 3, y tracemos una recta QK que corta a cada una de las rectas DG y GZ Paso 4.

Digo que la prolongación cortará a cada una de las hipérbolas en un único punto.

Ya que DG y GE son asíntotas de la hipérbola A, y hemos trazado una recta QK que las corta comprendiendo el ángulo adyacente DGZ, entonces la prolongación cortará a la sección [Prop. II.11]. Análogamente para B. Sean L y M los puntos de corte Paso 5. Tracemos desde G una paralela AGB a LM Paso 6, así [Prop. II.11] KL∙LQ=AG² y QM∙MK=GB². Ya que AG=GB, entonces KL∙LQ=QM∙MK, de donde \(\rm \dfrac{KL}{MK}=\dfrac{QM}{LQ}\), luego \(\rm \dfrac{LM}{MK}=\dfrac{KL+MK}{MK}=\dfrac{QM+LQ}{LQ}=\dfrac{LM}{LQ}\), y por tanto LQ=KM.

Q. E. D.