Las asíntotas son comunes a las dos secciones opuestas de una hipérbola.

Sean unas hipérbolas opuestas Paso 1 de diámetro AB Paso 2 y centro G Paso 3.

Digo que las asíntotas de las hipérbolas opuestas son comunes.

Tracemos por A y B tangentes a las hipérbolas opuestas Paso 4, son paralelas [Prop. II.5]. Entonces DA²=AE²=ZB²=BH²=(1/4)rectum∙AB, así DA=AE=ZB=BH.

Tracemos la rectas de unión GD, GE, GZ y GH Paso 5. Entonces es evidente que DG está en la prolongación en línea recta de GH y GE en la prolongación en línea recta de GZ debido a las paralelas [Euclides:Prop. I.33]. Ya que es una hipérbola de diámetro AB y tangente DE, y DA²=AE²=¼(rectum∙AB), así DG y GE son asíntotas [Prop. II.1]. Por las mismas razones ZG y GH son las asíntotas a la hipérbola B. Así las asíntotas de hipérbolas opuestas son comunes.

Q. E. D.