Trazar a una sección cónica una tangente que forma un ángulo agudo dado con el diámetro de la sección.

Supongamos que la sección cónica es una parábola cuyo eje es AB y sea H el ángulo dado, entonces queremos trazar una tangente a la parábola que con el diámetro que pasa por el punto de contacto forme un ángulo igual al ángulo H.

Supongamos el problema resuelto, y tracemos una tangente CD que con el diámetro EC trazado por el punto de contacto forme un ángulo \(\widehat{\rm ECD}\) igual al ángulo \(\widehat{\rm H}\), y corte al eje en el punto D [Prop. I.24]. Ya que AD es paralela a EC [Cor. Prop. I.51] \(\widehat{\rm ADC}=\widehat{\rm ECD}\).

Pero el ángulo \(\widehat{\rm ECD}\) está dado pues es igual al ángulo \(\widehat{\rm H}\), así el ángulo \(\widehat{\rm ADC}\) también está dado.

La construcción será, pues, la siguiente: Sea una parábola cuyo eje es AB Paso 1 y sea \(\widehat{\rm H}\) el ángulo dado Paso 2. Tracemos una tangente CD Paso 3 que con el eje forme un ángulo \(\widehat{\rm ADC}\) igual al ángulo \(\widehat{\rm H}\) [Prop. II.50]Paso 4, y desde C tracemos una paralela EC a AB Paso 5. Ya que \(\widehat{\rm H}=\widehat{\rm ADC}\), y \(\widehat{\rm ADC}=\widehat{\rm ECD}\), así \(\widehat{\rm H}= \widehat{\rm ECD}\).

Supongamos que la sección cónica es una hipérbola de eje AB , centro E , y asíntota EJ , y sea dado un ángulo agudo \(\widehat{\rm W}\), y sea CD tangente. Tracemos la recta de unión CE que resuelve el problema, y una perpendicular CG. Así \(\rm \dfrac{transversum}{rectum}\) está dado, y por tanto también \(\rm \dfrac{EG\cdot GD}{CG^2}\) [Prop. I.37].

Construyamos un segmento circular, sobre una cierta recta FH, de un ángulo igual al ángulo \(\widehat{\rm W}\) [Euclides:Prop. III.33], así será mayor que un semicírculo [Euclides:Prop. III.31]. Desde un punto K de la circunferencia tracemos una perpendicular KL, tal que \(\rm\dfrac{FL\cdot LH}{}=\dfrac{transversum}{rectum}\), y tracemos las rectas de unión FK y KH. Ya que \(\widehat{\rm FKH}=\widehat{\rm ECD}\), pero \(\rm\dfrac{EG\cdot GD}{GC^2}=\dfrac{transversum}{rectum}\), así los triángulos KFL y ECG son semejantes, y los triángulos FHK y ECD también lo son. Y por tanto \(\widehat{\rm HFK}=\widehat{\rm W}=\widehat{\rm CED}\).

La construcción será, pues, la siguiente: Sea AC la hipérbola dada Paso 6, AB su eje Paso 7, y E su centro Paso 8, \(\widehat{\rm W}\) un ángulo agudo dado Paso 9, y supongamos que \(\rm\dfrac{transversum}{rectum}=\dfrac{C'A'}{C'B'}\), y que B'A' es bisecada en D' Paso 10, y tracemos aparte una recta FH Paso 11, y describamos sobre ella un segmento circular mayor que un semicírculo y ángulo \(\widehat{\rm FKH}\) igual al ángulo \(\widehat{\rm W}\) [Euclides:Prop. III.31 Paso 12 y Euclides:Prop. III.33], y sea N el centro del círculo Paso 13, y desde N, tracemos la perpendicular NO a FH Paso 14, y cortemos NO en P de manera que \(\rm\dfrac{NP}{PO}=\dfrac{D'À'}{A'C'}\) Paso 15, y desde P tracemos una paralela PK a FH Paso 16, y desde K una recta perpendicular a KL a FH Paso 17, y prolonguémosla, y tracemos las rectas de unión FK y KH Paso 18, y prolonguemos LK hasta M Paso 19, y desde N tracemos una recta perpendicular NQ a él Paso 20, así es paralela a FH.

Y así \(\rm\dfrac{NP}{PO}=\dfrac{D'B'}{B'C'}=\dfrac{QK}{KL}\).

Y por duplicación de los antecedentes \(\rm\dfrac{A'B'}{B¡C'}=\dfrac{MK}{KL}\), y por composición \(\rm\dfrac{A'C'}{C'B'}=\dfrac{ML}{LK}\). Pero \(\rm\dfrac{ML}{LK}=\dfrac{ML\cdot LK}{LK^2}\), así \(\rm\dfrac{A'C'}{C'B'}=\dfrac{ML\cdot LK}{LK^2}=\dfrac{FL\cdot LH}{LK^2}\), y [Euclides:Prop. III.36].

Pero \(\rm\dfrac{A'C'}{C'B'}=\dfrac{transversum}{rectum}\), así \(\rm\dfrac{FL\cdot LH}{LK^2}=\dfrac{transversum}{rectum}\).

Entonces tracemos desde A una perpendicular AJ a AB Paso 21. Ya que [Prop. II.1] \(\rm\dfrac{EA^2}{AJ^2}=\dfrac{transversum}{rectum}\), y \(\rm\dfrac{transversum}{rectum}=\dfrac{FL\cdot LH}{LK^2}\), y \(\rm\dfrac{FL^2}{LK^2}>\dfrac{FL\cdot LH}{LK^2}\), entonces \(\rm\dfrac{FL^2}{LK^2}>\dfrac{EA^2}{AJ^2}\).

Y los ángulos \(\widehat{\rm A}\) y \(\widehat{\rm L}\) son rectos, así \(\widehat{\rm F} < \widehat{\rm E}\).

Entonces \(\widehat{\rm AEC}=\widehat{\rm LFK}\), así EC [Prop. II.2] cortará a la sección Paso 22. Sea C el punto de corte. Entonces tracemos desde C una tangente CD [Prop. II.49]Paso 23, y tracemos una perpendicular CG Paso 24, entonces [Prop. I.37] \(\rm\dfrac{transversum}{rectum}=\dfrac{EG\cdot GD}{CG^2}\). Así \(\rm\dfrac{FL\cdot LH}{LK^2}=\dfrac{EG\cdot GD}{CG^2}\), así el triángulo KFL es semejante al triángulo ECG, y el triángulo KHL es semejante al triángulo CGD, y el triángulo KFH es semejante al triángulo CED. Y por tanto \(\widehat{\rm ECD}=\widehat{\rm FKH} =\widehat{\rm W}\).

Y si \(\rm \dfrac{transversum}{rectum}=1\) [hipérbola rectangular], KL es tangente a la circunferencia [Euclides:Prop. III.37], y la recta que une el centro con K será paralela a FH y resolverá el problema.

Q. E. D.