Proposición 51

Trazar a una sección cónica una tangente que forma un ángulo agudo dado con el diámetro de la sección.

Supongamos que la sección cónica es una parábola cuyo eje es AB y sea H el ángulo dado, entonces queremos trazar una tangente a la parábola que con el diámetro que pasa por el punto de contacto forme un ángulo igual al ángulo H.

Supongamos el problema resuelto, y tracemos una tangente CD que con el diámetro EC trazado por el punto de contacto forme un ángulo $\hat{E C D}$ igual al ángulo $\hat{H}$ , y corte al eje en el punto D [Prop. I.24]. Ya que AD es paralela a EC [Cor. Prop. I.51] $\hat{A D C} = \hat{E C D}$ .

Pero el ángulo $\hat{E C D}$ está dado pues es igual al ángulo $\hat{H}$ , así el ángulo $\hat{A D C}$ también está dado.

La construcción será, pues, la siguiente: Sea una parábola cuyo eje es AB y sea $\hat{H}$ el ángulo dado . Tracemos una tangente CD que con el eje forme un ángulo $\hat{A D C}$ igual al ángulo $\hat{H}$ [Prop. II.50], y desde C tracemos una paralela EC a AB . Ya que $\hat{H} = \hat{A D C}$ , y $\hat{A D C} = \hat{E C D}$ , así $\hat{H} = \hat{E C D}$ .

Supongamos que la sección cónica es una hipérbola de eje AB , centro E , y asíntota EJ , y sea dado un ángulo agudo $\hat{W}$ , y sea CD tangente. Tracemos la recta de unión CE que resuelve el problema, y una perpendicular CG. Así $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ está dado, y por tanto también $\frac{E G \cdot G D}{C G^{2}}$ [Prop. I.37].

Construyamos un segmento circular, sobre una cierta recta FH, de un ángulo igual al ángulo $\hat{W}$ [Euclides:Prop. III.33], así será mayor que un semicírculo [Euclides:Prop. III.31]. Desde un punto K de la circunferencia tracemos una perpendicular KL, tal que $\frac{F L \cdot L H}{} = \frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ , y tracemos las rectas de unión FK y KH. Ya que $\hat{F K H} = \hat{E C D}$ , pero $\frac{E G \cdot G D}{G C^{2}} = \frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ , así los triángulos KFL y ECG son semejantes, y los triángulos FHK y ECD también lo son. Y por tanto $\hat{H F K} = \hat{W} = \hat{C E D}$ .

La construcción será, pues, la siguiente: Sea AC la hipérbola dada , AB su eje , y E su centro , $\hat{W}$ un ángulo agudo dado , y supongamos que $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m} = \frac{C^{'} A^{'}}{C^{'} B^{'}}$ , y que B'A' es bisecada en D' , y tracemos aparte una recta FH , y describamos sobre ella un segmento circular mayor que un semicírculo y ángulo $\hat{F K H}$ igual al ángulo $\hat{W}$ [Euclides:Prop. III.31 y Euclides:Prop. III.33], y sea N el centro del círculo , y desde N, tracemos la perpendicular NO a FH , y cortemos NO en P de manera que $\frac{N P}{P O} = \frac{D^{'} À^{'}}{A^{'} C^{'}}$ , y desde P tracemos una paralela PK a FH , y desde K una recta perpendicular a KL a FH , y prolonguémosla, y tracemos las rectas de unión FK y KH , y prolonguemos LK hasta M , y desde N tracemos una recta perpendicular NQ a él , así es paralela a FH.

Y así $\frac{N P}{P O} = \frac{D^{'} B^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{Q K}{K L}$ .

Y por duplicación de los antecedentes $\frac{A^{'} B^{'}}{B ¡ C^{'}} = \frac{M K}{K L}$ , y por composición $\frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{M L}{L K}$ . Pero $\frac{M L}{L K} = \frac{M L \cdot L K}{L K^{2}}$ , así $\frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{M L \cdot L K}{L K^{2}} = \frac{F L \cdot L H}{L K^{2}}$ , y [Euclides:Prop. III.36].

Pero $\frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ , así $\frac{F L \cdot L H}{L K^{2}} = \frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ .

Entonces tracemos desde A una perpendicular AJ a AB . Ya que [Prop. II.1] $\frac{E A^{2}}{A J^{2}} = \frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m}$ , y $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m} = \frac{F L \cdot L H}{L K^{2}}$ , y $\frac{F L^{2}}{L K^{2}} > \frac{F L \cdot L H}{L K^{2}}$ , entonces $\frac{F L^{2}}{L K^{2}} > \frac{E A^{2}}{A J^{2}}$ .

Y los ángulos $\hat{A}$ y $\hat{L}$ son rectos, así $\hat{F} < \hat{E}$ .

Entonces $\hat{A E C} = \hat{L F K}$ , así EC [Prop. II.2] cortará a la sección . Sea C el punto de corte. Entonces tracemos desde C una tangente CD [Prop. II.49], y tracemos una perpendicular CG , entonces [Prop. I.37] $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m} = \frac{E G \cdot G D}{C G^{2}}$ . Así $\frac{F L \cdot L H}{L K^{2}} = \frac{E G \cdot G D}{C G^{2}}$ , así el triángulo KFL es semejante al triángulo ECG, y el triángulo KHL es semejante al triángulo CGD, y el triángulo KFH es semejante al triángulo CED. Y por tanto $\hat{E C D} = \hat{F K H} = \hat{W}$ .

Y si $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m} = 1$ [hipérbola rectangular], KL es tangente a la circunferencia [Euclides:Prop. III.37], y la recta que une el centro con K será paralela a FH y resolverá el problema.

Q. E. D.