Si una recta que encuentra a una sección de una hipérbola corta a las asíntotas, el rectángulo de las rectas separadas entre estas y la sección equivale a la cuarta parte de la figura obtenida sobre el diámetro que divide en dos partes iguales a las paralelas a la recta trazada.
Sea la hipérbola ABG de asíntotas ED y EZ , y cortemos estas y la sección por una recta DZ , que bisecaremos por el punto H , y tracemos la recta de unión HE, y tomemos EQ=BE
y levantemos en B una perpendicular BM a QB, de manera que, \(\rm\dfrac{BM}{QB}=\dfrac{AH^2}{QH\cdot BH}\) , así QB es un diámetro [Prop. II.7] y BM el lado recto.
Digo que \(\rm DA\cdot AZ=DG\cdot GZ=\frac{1}{4}QB\cdot BM\).
En efecto, tracemos por B la tangente KL a la sección , así es paralela a DZ [Prop. II.5].
Ya que \(\rm\dfrac{QH\cdot HB}{HA^2}=\dfrac{QB}{BM}\) [Prop. I.21], entonces
\(\rm\dfrac{QH\cdot HB}{HA^2}=\dfrac{EH^2}{HD^2}\), de donde \(\rm\dfrac{HQ^2-QH\cdot HB}{HD^2-HA^2}=\dfrac{EH^2}{QD^2}\).
Ya que, \(\rm EH^2-QH\cdot HB=EH^2-(EH+EB)(EH-EB)\)\(\rm =EH^2-(EH^2-EB^2)=EB^2\), y \(\rm HD^2-HA^2=(HD-HA)(HD+HA)=DA\cdot AZ\),
entonces \(\rm\dfrac{EB^2}{DA\cdot AZ}=\dfrac{EH^2}{HD^2}=\dfrac{EB^2}{BK^2}\), de donde
\(\rm DA\cdot AZ=BK^2\).
Análogamente puede demostrarse que \(\rm DG\cdot GZ=BL^2\). Ya que \(\rm BK=BL\), entonces \(\rm BK^2=BL^2=\frac{1}{4}QB\cdot BM\) [Prop. II.3 ],
luego \(\rm DA\cdot AZ=\frac{1}{4}QB\cdot BM = ZG\cdot GD\).
Q. E. D.