Proposición 10

Si una recta que encuentra a una sección de una hipérbola corta a las asíntotas, el rectángulo de las rectas separadas entre estas y la sección equivale a la cuarta parte de la figura obtenida sobre el diámetro que divide en dos partes iguales a las paralelas a la recta trazada.

Sea la hipérbola ABG de asíntotas ED y EZ , y cortemos estas y la sección por una recta DZ , que bisecaremos por el punto H , y tracemos la recta de unión HE, y tomemos EQ=BE y levantemos en B una perpendicular BM a QB, de manera que, $\frac{B M}{Q B} = \frac{A H^{2}}{Q H \cdot B H}$ , así QB es un diámetro [Prop. II.7] y BM el lado recto.

Digo que $D A \cdot A Z = D G \cdot G Z = \frac{1}{4} Q B \cdot B M$ .

En efecto, tracemos por B la tangente KL a la sección , así es paralela a DZ [Prop. II.5]. Ya que $\frac{Q H \cdot H B}{H A^{2}} = \frac{Q B}{B M}$ [Prop. I.21], entonces $\frac{Q H \cdot H B}{H A^{2}} = \frac{E H^{2}}{H D^{2}}$ , de donde $\frac{H Q^{2} - Q H \cdot H B}{H D^{2} - H A^{2}} = \frac{E H^{2}}{Q D^{2}}$ . Ya que, $E H^{2} - Q H \cdot H B = E H^{2} - (E H + E B) (E H - E B)$ $= E H^{2} - (E H^{2} - E B^{2}) = E B^{2}$ , y $H D^{2} - H A^{2} = (H D - H A) (H D + H A) = D A \cdot A Z$ , entonces $\frac{E B^{2}}{D A \cdot A Z} = \frac{E H^{2}}{H D^{2}} = \frac{E B^{2}}{B K^{2}}$ , de donde $D A \cdot A Z = B K^{2}$ .

Análogamente puede demostrarse que $D G \cdot G Z = B L^{2}$ . Ya que $B K = B L$ , entonces $B K^{2} = B L^{2} = \frac{1}{4} Q B \cdot B M$ [Prop. II.3 ], luego $D A \cdot A Z = \frac{1}{4} Q B \cdot B M = Z G \cdot G D$ .

Q. E. D.